【摘 要】
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最优化是运筹学的一个重要分支,在其他学科的应用中也起到了十分重要的作用.许多实际问题都需要借助数学思想转化为优化问题,寻求最优解.非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,简称NMF)是指含有非负约束的一类矩阵分解方法.该模型常被用于处理文本聚类、信号处理、模式识别、计算机视觉和图像工程等领域的一些实际问题.由于模型的非凸性,因而使用传统算法往往比较难以处理
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最优化是运筹学的一个重要分支,在其他学科的应用中也起到了十分重要的作用.许多实际问题都需要借助数学思想转化为优化问题,寻求最优解.非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,简称NMF)是指含有非负约束的一类矩阵分解方法.该模型常被用于处理文本聚类、信号处理、模式识别、计算机视觉和图像工程等领域的一些实际问题.由于模型的非凸性,因而使用传统算法往往比较难以处理,即使能够求解,其理论分析可能较为复杂.交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,简称为ADMM)是一种有效的算法,经常被用于求解凸优化问题.进一步来讲,从数值实验的结果可以表明,ADMM对于求解某些非凸优化的问题同样有效,并且已有部分理论结果.使用ADMM求解一种源于聚类问题的NMF模型,并在一定的假设条件下分析了算法收敛性,其中的子问题可能不易求解,因此利用自适应步长梯度投影法对子问题不精确求解,使得计算效率得到提高,最后通过数值实验验证了该方法的有效性.本文我们来考虑求解以下NMF模型:(?)此模型中由于没有非凸的正交约束,因而求解NMF模型的理论分析相对易于实现.近年来,虽然一些学者研究了许多正交非负矩阵分解问题,然而其研究大多只能在较为严格的假设条件下得到收敛性,且对于一般的非凸问题,只有在一定的假设条件下,才能建立其收敛性.因此,我们仅研究不带正交约束的NMF模型,在温和的假设条件下建立了算法的收敛些结论.初步实验结果证明,使用ADMM来求解该模型,在大部分问题设置下,聚类性能均优于K-means算法.
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