图谱理论作为代数图论的一个重要分支,研究内容包括图的谱特征、谱的图特征及图谱相关问题,其研究目的主要是通过图矩阵的特征值反映图的谱性质并建立图的拓扑结构和图矩阵之间的联系.对任意图G,设A（G）和D（G）分别表示图G的邻接矩阵和度对角矩阵.记图G的广义矩阵为M（G）=A（G）-tD（G）,其中t为任意常数,则图G的广义特征多项式为ΦG（λ;t）=det（λIn-M（G））=det（λIn-（A（G）-tD（G）））.本文针对图的广义特征多项式,主要做了以下四个部分的研究:一些简单图运算下结果图的广义特征多项式（图G的补图的广义特征多项式、图G和H不交并的补的广义特征多项式、G和H的联图的广义特征多项式）、广义冠图（广义点冠图、广义边冠图、修正广义边冠图）的广义特征多项式、剖分Q-冠图（剖分Q-点冠图、剖分Q-边冠图）的广义特征多项式和剖分Q-邻接冠图（剖分Q-邻接点冠图、剖分Q-邻接边冠图）的广义特征多项式.本文结构安排如下:第一章,介绍广义特征多项式的研究背景、相关概念及本文所得到的主要结论.第二章,结合图的广义谱分解给出了图G的补图G,G和H的不交并G（?）H的补以及联图G▽H的广义特征多项式.第三章,研究了广义点冠图（?）Hi、广义边冠图G[Hi]1m、修正广义边冠图G[Hi]1m的广义特征多项式及其Φ-谱.作为应用,得到了相应图的生成树数目和kirchhoff指标.第四章,研究了剖分Q-点冠图G1⊙QG2和剖分Q-边冠图G1（?）G2的广义特征多项式及其Φ-谱,并分别得到了剖分Q-点冠图和剖分Q-边冠图的A-谱、L-谱、Q-谱和（?）-谱,作为应用,得到了剖分Q-冠图的能量、生成树数目、Kirchhoff指标、Degree-kirchhoff指标和Kemeny常数并构造了一些Φ-同谱图.第五章,研究了剖分Q-邻接点冠图G1（?）QG2和剖分Q-邻接边冠图G1（?）QG2的广义特征多项式及其Φ-谱,同时得到了剖分Q-邻接冠图的A-谱、L-谱、Q-谱和（?）-谱.作为应用,得到了剖分Q-邻接冠图的能量、拟Laplacian能量、关联能量,同时构造了一些Φ-同谱图.