论文部分内容阅读
本文由两部分组成．第一部分讨论了变阻尼摆型方程∈χ+F(χ)χ+p(χ，t)=0，其中∈>0，f和p是光滑函数，而且关于χ是1-周期，关于t是T-周期，且f(χ+1)=(χ)，p(χ+1，t)=p(χ，t)=p(χ，t+Υ)对任意的χ，t∈R．另外还假设，阻尼项，F(χ)是正的，即存在实数，γ>0，使得F(χ)≥γ>0；|p(χ,t)|=(χ，t)|≤m.我们主要得到了如下结果：
当系统满足过阻尼条件，即0<∈<γ2-4m时，系统是强单调的，此时Poincaré映射PT存在不变限制水平曲线，且是整体吸引子．PT在不变限制水平曲线上是保向同胚，因此系统的旋转数p和平均速度-υ存在，且-υ=p/T，此时，如f是偶函数，且p(χ,t)满足p(χ,t+T/2)=-p(-χ，t)，则系统的旋转数p=0.进一步，当0<∈<2γ2-9m时，Poincaré映射的不变限制水平曲线C1光滑的，如果旋转数p是无理数，由Denjoy定理，我们得到了Poincaré映射是遍历的．
接下来在第二部分我们讨论了满足周期边界条件的强阻尼耦合振子系χj+rχj+g(χj)=a(χ+1-2χj-1)+β(χj+1-2χ+χj-1)+F,χj+N(t)=χj(t)+2开M，的行波解的存在性及稳定性．其中j∈Z，r>0是阻尼系数，g为周期函数，满足F(χ+2开)=G(χ)，∫02χ9(χ)dχ=0，且|9(χ)|≤M，N≥0，N>0是整数，α>0为位置耦合系数，β>0为速度耦合系数，F>0是驱动外力．所谓系统的行波解，即是χj(t)f(t+jM-NT),j∈Z，其中，是波形函数：R→R，满足存在最小的T>0，使得f(t+T)=f(t)+2开，T称为波形函数的周期．我们得到的结果有：对任意的T>0，都存在某个F>0，使得系统存在一个行波解．对任意的F>1，系统存在一个行波解．任意固定~F>0，~a>0，存在┌0>0，使得0<┍<┍0时，对所有的F≥~F，0α/β+gβ/α，则系统是强单调的．进一步，此时系统的行波解全局稳定．