【摘 要】
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设K为有理数域Q的有限代数扩张,f∈ K（x）为次数大于等于2的有理函数.它诱导了K的射影直线P1（K）上的自映射.1950年,Northcott证明了对这样的有理函数,它在K中的预周期点个数是有限的.1994年,Morton和Silverman提出预周期点个数一致有界猜想:存在常数B=B（n,d）,对于有理数域Q的任意n维扩张K和次数为d ≥ 2的有理函数f∈K（x）,它在K上的预周期点个数不超
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设K为有理数域Q的有限代数扩张,f∈ K（x）为次数大于等于2的有理函数.它诱导了K的射影直线P1（K）上的自映射.1950年,Northcott证明了对这样的有理函数,它在K中的预周期点个数是有限的.1994年,Morton和Silverman提出预周期点个数一致有界猜想:存在常数B=B（n,d）,对于有理数域Q的任意n维扩张K和次数为d ≥ 2的有理函数f∈K（x）,它在K上的预周期点个数不超过B.然而,该猜想对于有理数域Q上二次多项式族,仍然是开问题.对于单临界点的奇数次多项式族,fc（x）=x2n+1+c,c∈Q,基于其在实数域R上的单调性,它在有理数域上预周期点个数上界为4.但是,对于有理数域Q的一般二次扩域,例如Q（i）,运用单调性的证明方法不再适用.在本文中,我们考虑单临界点奇数次多项式在Q的二次扩域上的预周期点集一致有界性问题,证明了若2（?）d,3（?）d,则存在常数B=B（d）,使得对任意二次扩域K和任意的多项式f（x）=xd+c,c∈K,其预周期点个数不超过B.我们的证明分为三步:（1）若多项式fc（x）=x2n+1+c具有长度大于等于3的周期轨道,则|c|2≤1;（2）当|c|2≤1时,fc（x）在2进数域的二次扩张中的周期轨道长度不超过4;（3）周期轨道长度的一致有界性意味着预周期点数的一致有界性.
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