【摘 要】
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图的可迹性一直是结构图论的一个非常重要的研究课题.众所周知,哈密尔顿路可以看成一个不含任何分支点的支撑树,也可看成至多含两个悬挂点的支撑树.因此判断一个图的哈密尔顿路是否存在,可转化成判断图中是否含至多两个悬挂点的支撑树.则存在一个很自然的问题:能否利用图中含3个悬挂点的最大树研究图的可迹性?本文对此进行了初步探讨.全文共分为四章,主要内容如下:在本文第一章,我们介绍了文中出现的一些基本概念、定义
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图的可迹性一直是结构图论的一个非常重要的研究课题.众所周知,哈密尔顿路可以看成一个不含任何分支点的支撑树,也可看成至多含两个悬挂点的支撑树.因此判断一个图的哈密尔顿路是否存在,可转化成判断图中是否含至多两个悬挂点的支撑树.则存在一个很自然的问题:能否利用图中含3个悬挂点的最大树研究图的可迹性?本文对此进行了初步探讨.全文共分为四章,主要内容如下:在本文第一章,我们介绍了文中出现的一些基本概念、定义、符号以及关于支撑树问题的研究背景、意义和国内外现有的研究成果,同时提出了本文的主要结论.在本文第二章,我们研究2-连通K1,4-free图中哈密尔顿路的存在性,Kyaw[21]利用3个不相邻点的度和得到连通的K1,4-free图可迹的下述充分条件:若连通图G是K1,4-free的,且σ3（G）≥ |G|,则G中存在哈密尔顿路.尽管这个结果中关于σ3的下界是最好可能,但其极图的连通度是1.由此产生下述问题:是否存在整数b ≥ 2使得对某个常数c,所有满足σ2+b（G）≥ |G|+c的2-连通K1,4-free图G都含有哈密尔顿路?在本章,我们用反证法,利用图G中恰含三个悬挂点的最大树证明了该问题对b=3的答案是肯定的,即所有满足σ5（G）≥ |G|+3的2-连通K1,4-free图G都含有哈密尔顿路.在本文第三章,我们研究2-连通K1,5-free图中哈密尔顿路的存在性,Chvátal和Erd?s[3]得到图的连通度和独立数与其可迹性之间的联系:设图G的连通度至少为k,如果α（G）≤k+1,那么G中存在哈密尔顿路.一个自然的问题是:是否存在常数c使得所有满足σk+2（G）≥ |G|+c的k-连通图G都是可迹图?由完全二部图Km,m+2（m≥k）知该问题的答案是否定的.在本章,我们证明对2-连通K1,5-free图,该问题的答案为真:设G是2-连通K1,5-free图,如果σ4（G）≥|G|+3,那么G中存在哈密尔顿路,并且条件中关于σ4（G）的下界是最好可能的.在本文第四章,我们对2-连通K1,5-free图中特型支撑树的存在性问题进行了进一步展望.
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