1987年，D.Tingley在[87]中提出如下问题：设E，F是实赋范线性空间，S(E)和S(F)是E,F的单位球面。若T: S(E)→S(F)是一个满等距映射(即 T(S(E))=S(F)且对于任意的x<,1>，x<,2>∈S(E)，都有‖Tx<,1>-Tx<,2>‖=‖x<,1>-x<,2>‖)，问T能否延拓为E到F上的线性(或仿线性)等距映射。对于复空间的情形答案显然是否定的．例：令E=F=C(复平面)且Tx=x即知。 这一问题被许多数学工作者广泛的研究[15，20，24，25，92-97]，并且已经得到了一些漂亮的结果。然而，迄今为止，它仍然没有被完满的解决。在本文中，我们对于该问题以及该问题的一些拓展形式(主要是将Tingley问题中的满等距改为非满等距)作了研究，得出了一些有意义的结论。 本文主要研究实赋范空间中的Tingley问题，考虑单位球面间等距映射(满或不满)能否线性延拓至全空间。我们将本文分为两章。 第一章中，我们主要研究了任意两个实赋范空间E，F的单位球面S(E)和S(F)之间的任意映射能否延拓至全空间。得到了以下结果； 在第二章中，我们主要研究特殊类型的赋范空间的单位球面间等距映射的线性延拓问题。本章分为两小节。 在2.1 节中，我们假设E，F都是实严格凸，光滑的自反空间。接下来我们构造了相关联的两个映射L′和L，它们分别将定义域空间E和值域空间F映为l<∞>(Γ)的子空间。并且由此得到如下结论： E，F都是实严格凸，光滑的自反空间，T:S(E)→S(F)是满等距映射，则T可以延拓为全空间E 上的线性等距算子的一个充要条件是L(F)，L′(E)是l<∞>(Γ)中的同一个线性子空间。 我们还构造了相关联的两个映射K，K′，它们分别将定义域空间E和值域空间F映为l<∞>(Γ)的子空间。并且得到如下结论： E，F都是实严格凸，光滑的自反空间，T:S(E)→S(F)是非满等距映射，则T可以延拓为全空间E上的线性等距算子的一个充要条件是K(E)是K′，(F)的一个线性子空间。 在2.2节中，我们研究了实赋范空间E和l

的单位球面间满等距映射的延拓问题。