这篇论文的主要结果是关于组合多项式的对数凹性质及其相关问题的一些进展,包括一类多项式的系数是否为极限分布的判定方法,多项式的系数的平衡性质,多项式的系数的对数凹和对数凸性质,一系列多项式的系数的交错对数凹性质和一系列多项式的q对数凹和q对数凸性质。在第一章中,我们给出了多项式组合性质的一些背景,并介绍了本论文中用到的定义和记号。同时还介绍了一些关于多项式组合性质的重要的经典定理。在第二章中,我们首先对于与贝努力数有关的的一个无穷级数和做了估计。然后利用这个估计,通过计算q-卡塔兰数的对数钜量生成函数推出q-卡塔兰数的系数具有渐近的正态分布。进而,利用这个方法得到了一个判断一类多项式的系数是否为渐近正态分布的结果。利用这个结果,可以得到一般化的q-卡塔兰数的系数和另一种9-卡塔兰数的系数都具有渐近正态分布。此外,我们还研究了q-卡塔兰数的系数的对数凹的性质,并猜想当n充分大时,q-卡塔兰数的系数除去前面和后面一些项是对数凹的。进而,基于Bona对于排列的圈数的平衡性质的研究,推出了q-卡塔兰数的系数也具有相同的平衡性质。最后,我们运用詹森依赖标准证明了[n]的随机排列中,包含k长的交替子排列的个数具有渐近正态分布。在第三章中,通过对n维立方体的平衡2-染色做了一个细化,利用双射找到了具有2k个黑点和具有2k+2个黑点的n维立方体的平衡2-染色的个数的关系。并利用这个公式证明了Palmer,Read和Robinson [90]关于n维欧几里得空间的立方体的平衡2-染色个数的单峰性的一个猜想。进而,我们提出了当k固定时,n维立方体具有2k个黑点的平衡2-染色的个数具有对数凹的性质。利用概率方法,我们得到这个猜想在n充分大的时候成立。在第四章中,首先定义了交错对数凹性质,它是对数凹性质的一个一般化。然后,利用Boros-Moll多项式的四个递推公式推出了关于Boros-Moll多项式的系数的一些不等式。利用这些不等式,证明了Boros-Moll多项式具有交错对数凹的性质。进而,对于满足三角递推关系的数列我们给出了它具有交错对数凹性质的一个充分条件。利用这个充分条件,我们可以得到很多组合序列具有交错对数凹的性质。在第五章中,我们借助对称函数的工具研究多项式的对数性质。利用舒尔正定和舒尔函数的主要特征,证明了刘丽和王毅[77]关于Narayana多项式的q-对数凸性质的两个猜想。本章开始先介绍Branden的工作,他把q-Narayana数表示成一类特殊的舒尔函数。通过建立几个对称函数恒等式,我们获得了Narayana多项式的强q-对数凸性质和q-Narayana数的强q-对数凹性质。这个结论推出了McNamara和Sagan[83]关于高斯多项式的无穷q-对数凹性质的猜想的一种特殊情况。进而,我们得到了一类其系数满足线性三角关系的多项式具有强q-对数凸性质,包括贝尔多项式,贝塞尔多项式,拉马努金多项式和多灵多项式。我们还证明了贝塞尔序列具有保持对数凸的性质。