图像复原是现代社会中应用十分广泛的图像处理的一个分支,其发展和进步与生活息息相关.本文主要研究自然图像的复原算法,主要包括基于稀疏表示的超分辨率图像重建和基于矩阵填充的图像去噪.基于稀疏表示来重构原始图像的模型在面对不同实例会引起很多不同的问题,因此我们需要对其进行改进并提高重构效果;类似地,基于矩阵填充的图像去噪算法也需要不断改进,在针对不同的噪声,甚至是混合噪声时,提高图像去噪的效果是必要的.本文基于稀疏表示理论和矩阵填充理论,展开了基于自适应稀疏表示的图像超分辨率重建算法研究、基于非局部结构相似和边缘锐度字典的超分辨率重建算法研究、基于非局部相似和局部线性投影的超分辨率重建算法的研究和针对图像混合噪声处理的加权低秩矩阵填充算法研究.具体的研究内容如下:1.对于超分辨率图像重建而言,l1正则化和l2正则化分别体现了稀疏表示的稀疏性和协同性,并且前者最能体现系数的稀疏性,后者体现较弱的稀疏性并能大大加快运算速度.为了更好地重构图像,我们需要平衡两者的作用,使其对于字典的变化能够自适应的产生最佳的重构效果.本文通过构建一个新的正则项,提出了基于自适应稀疏编码的超分辨率重构(ASCSR)模型.该模型能够将稀疏性和协同性整合到模型的一个正则项,根据字典的变化自适应地强调稀疏性或者关联性,并且通过两者之间的协调产生一个最合适的系数.对于模型的求解,本文通过交替方向乘子法(ADMM)来求解所提出的优化模型.对比于现存的一些超分辨率重构方法的重构效果,本文所提出的ASCSR方法具有更好的重构效果,并且对于字典的变化具有较好的稳定性和抗噪性.2.由于补丁的非局部相似性,我们提出了基于非局部结构相似和边缘锐度字典的图像重构模型.首先,利用补丁具有不同的边缘锐度,我们将所有训练补丁分成了不同的类别;其次,我们对不同类别的训练补丁进行字典的训练;然后,我们在模型中加入了非局部结构相似性约束,并对每个补丁选择与之最相似的训练补丁集所训练的字典进行重构,采用交替迭代方法对重构模型进行求解;最后,通过重构的补丁的结合就可以获得对应的高分辨率图像.依赖于边缘锐度字典的特性和非局部结构相似的性质,我们所提出的NLSS-ESD方法确实比其他一些方法具有更好的重构效果,且边缘锐度字典的训练也大大降低了模型的训练时间.3.由于低分辨率以及高分辨率图像补丁之间有一定的稀疏性,本文提出了一种基于非局部结构相似性和稀疏保存的局部投影超分辨率重构算法.该方法提出的关键点是相同或者不同图像的局部以及非局部补丁之间都存在某种程度上的相似性,而且高分辨率补丁可以通过低分辨率补丁的线性投影获得.本文采用了结构相似度和稀疏度两种分类方式对训练集的补丁进行分类,分类后对每一类补丁学习其对应的稀疏系数矩阵,并在此基础上学习补丁之间的投影.系数矩阵通过协同表示模型获得,为了将这种稀疏性和协同性保存下来,投影的学习模型中也包含了这样的系数矩阵.学得每类训练补丁的投影之后,对于每个测试图像,经过简单的线性投影就可以得到重构的补丁.对比实验显示我们所提的模型的数值效果和视觉效果都是有效的.4.基于多个相似补丁所组矩阵的低秩性,本文提出了一种基于加权低秩矩阵填充的图像混合噪声去除算法.一般来说,矩阵的核范数并不能很好地体现矩阵的低秩性,为了更好地体现矩阵的低秩性而得到更好的去噪图像,我们提出了加权模型.该方法首先利用补丁的匹配提取相似的补丁组成低秩矩阵,并根据相似补丁和低秩矩阵列向量的性质形成含有缺失项的低秩矩阵,再利用加权低秩矩阵的模型恢复原有的低秩矩阵进行图像去噪.该方法将补丁堆的去噪问题转变为矩阵的填充问题,并用加权核范数对低秩矩阵进行优化.矩阵填充完成也就意味着图像噪声去除完毕.对比试验显示我们所提的方法对于不同图像和不同噪声种类都有很好的数值效果和视觉效果.