群作用在代数学上非常重要，很多代数学问题的研究通常可以从群在集合上的作用入手。特别的，群作用在多项式环上产生的不变量问题的研究成为了一个非常重要的研究领域。不仅如此，不变量理论在计算机、材料学、几何划分等领域也有着很好的应用。本文以多项式系统为主要研究对象，着重讨论了以下内容：1.运用计算机代数中有限域上零维理想的准素分解的相关知识，对有限域上单变元多项式的不可约性的判断做了如下工作：首先，通过计算相关线性变换下的方阵的秩，给出了有限域上单变元多项式可约的判定条件。其次，引进结式的相关性质，进一步对有限域上单变元多项式不可约性的判定给出一个充分必要条件。此外，在此基础上对有限域上本原多项式的判定方法做出一定的改进。2.一方面，运用了群在集合上的作用的相关知识对有限集合划分问题作了一些探讨；另一方面，对有限群作用在多项式环上产生的不变量的从属问题分别从有限群的生成元和多项式的齐次表达等两方面作了一定研究。3.20世纪90年代， Derksen提出了重要的Derksen理想用于不变量的研究。本文在此基础上引入多项式环上同态的相关理论，把Derksen理想的研究转化为与同态相关问题，从另一个角度来看待不变量问题，并得到了一些较好的结论。