【摘 要】
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近些年,分数阶微分方程已成为微分方程领域一个重要的分支,引起了人们的极大关注,其在数学、流体力学、分数阶控制系统以及与分形维数有关的物理工程等方面发展迅速.然而,分数阶非线性微分方程往往很难求解,即使部分方程可以求得解析解,也会受到特殊函数的影响,其计算非常复杂,所以众多学者对构造分数阶非线性微分方程的数值解产生了兴趣.众所周知,微分方程在解决各系统的问题时,经常会受到噪声扰动的影响,所以研究带有
【基金项目】
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国家自然科学基金（编号:11701502）； 江苏省自然科学基金（编号:BK20201427）；
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近些年,分数阶微分方程已成为微分方程领域一个重要的分支,引起了人们的极大关注,其在数学、流体力学、分数阶控制系统以及与分形维数有关的物理工程等方面发展迅速.然而,分数阶非线性微分方程往往很难求解,即使部分方程可以求得解析解,也会受到特殊函数的影响,其计算非常复杂,所以众多学者对构造分数阶非线性微分方程的数值解产生了兴趣.众所周知,微分方程在解决各系统的问题时,经常会受到噪声扰动的影响,所以研究带有噪声项的随机微分方程模型变得越来越重要.为充分结合分数阶微分方程模型和随机微分方程的优点,多个领域的学者都研究了带有噪声项的分数阶随机微分方程.本文的主要工作是采用Euler-Maruyama方法得到一类Riemann-Liouville分数阶非线性随机微积分方程的数值方法,并证明了方法的强收敛性.另外,基于对常分数阶随机微积分方程的研究,开启了新的研究课题,即变分数阶的非线性随机微积分方程,其较之于传统的常分数阶随机微积分方程,它的阶数是变化的,所以获得方程的解也更加困难.本文的后一部分将Euler-Maruyama 方法应用到变分数阶非线性随机微积分方程的数值求解上,并且给出了此方法的强收敛性证明.本文的具体工作如下:第二章:引入了具有初值条件的Riemann-Liouville分数阶非线性随机微积分方程,构造了相应的Euler-Maruyama数值方法,并严格证明了这种数值方法的稳定性与强收敛性.之后,分别通过一维和二维两个实例验证了理论分析的正确性.第三章:在第二章所研究的Riemann-Liouville分数阶非线性随机微积分方程的基础上加入一项微分项构成新的方程,构造方程的Euler-Maruyama数值方法,并证明了此方法的强收敛阶为（1-α）∧ 0.5（α是Riemann-Liouville分数阶导数）.第四章:在常分数阶非线性随机微积分方程研究的基础上,考虑将Euler-Maruyama 方法应用到对应的变分数阶非线性随机微积分方程上,构造其相应的数值方法,并严格证明了该数值方法的强收敛性.最后将其应用到实际算例中,验证了该方法的有效性.
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