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设f是关于SL2(Z)的一个全纯Hecke尖形式或Hecke-Maass尖形式,则f有Fourier展开.设λf(n)为其正规化的Fourier系数,定义Hecke L-函数L(s,f)L(s,f)=(?)=(?)(1-λf(p)p-s+p-2s)-1,R(s)>1.众所周知在,L(s,f)具有与经典的Dirichlet L-函数L(s,x)类似的性质与函数方程.例如,L(s,f)可以解析延拓到整个复平面,并且其非显然零点均介于0<rs<1之间.关于L(s,f)的广义黎曼猜想是说L(s,f)的所有非平凡零点均落在直线Rt(s)=1/2上.而零点密度猜想是说Nf(a,T)《T2(1-σ)logc T或者不带logT的形式Nf(σ,T)《T2(1-σ)+e,这里c>0,并且ε>0为一个任意小的数.其中Nf(σ,T)表示Hecke L-函数L(s,f)在区域{σ≤β≤1，|γ| ≤T}中的零点个数.当f是关于SL2(Z)的一个全纯Hecke尖形式时,Ivic考虑了这个问题并且在[19]中证明了Nf(σ,T)《T(σ)(1-σ)+ε,其中(?)通过应用Karatsuba以及Voronin的方法,Yashiro在[50]中给出了上述结果的另一种证明.在2007年,Sankaranarayanan以及Sengupta[45]研究了当f是关于SL2(Z)的Hecke-Maass尖形式的情形,并且证明了Nf(σ,-T)<<T4/(1-σ)/3-2σlog26T,σ≥1/2+1/logT.2011年,Xu[48]在3/4<σ<1改进了上述结果,证明了Nf(σ,T)《T(8σ-5)(1-σ)/-2σ2+6σ-3log57T,3/4≤σ<1.2013年Tang[47]做出了进一步的改进,证明了存在一个常数c>0使得Nf(σ,T)《T2/σ(1-σσ)logcT,3/4≤σ<1.如果不考虑Tε与logcT的差别,这一结果与Ivic在全纯Hecke尖形式下的结果是一致的.在本文中,我们将证明以下定理.这一结果分别改进了 Ivic和Tang在3/4<σ<1上的结果.定理1 设f(z)是关于SL2(Z)的全纯Hecke尖形式或Hecke-Maass尖形式.那么对于Hecke L-函数L(s,f),我们有Nf(σ,T)《TA(σ)(1-σ)+ε,其中并且隐含的大O常数依赖于f以及ε.我们知道,经典Dirichlet L-函数的零点密度估计在许多重要的数论问题中有着重要的应用,特别是在涉及关于素数分布问题的研究中其常常可以替代广义黎曼猜想并给出很强的结果,比如小区间上的素数定理,孪生素数分布,素变数指数和的估计等等.利用Nf(σ,T)的估计,可以考虑与自守形式f有关的类似问题.设f是关于SL2(Z)的全纯Hecke尖形式,Af(n)为其正规化的Fourier系数,本文将研究如下素变数指数和S(α,θ,x)=λf(p)(logp)e(αpθ),其中α≠0且0<θ<1.这个问题被许多专家学者所研究,例如对于θ=1/2,固定的 α=-2,Iwaniec,Luo 以及 Sarnak(参考[25])给出了一个具有启发意义的条件性结果S(α,1/2,x)=cfx3/4+O(x8+ε),其中cf是一个只依赖于尖形式f的常数.对固定的α>0,Zhao[54]在2006年证明了S(α,1/2,x)《x5/6(log x)21,其中隐含的大O常数依赖于α以及尖形式f.2010年,对于一般的θ∈(0,1),在[42]中,Pi以及Sun考虑了这个问题.对于α≠0以及θ∈(0,9/32]∪[1/2,9/16],他们证明了S(α,θ,x)《xε(x1+θ/2+x3/4+θ/6+x1-θ/2),其中隐含的大O常数依赖于α,θ,ε以及尖形式f.应用Vaughan恒等式,对于α≠0,以及0<θ≤1/2,Hou[12]证明了存在绝对常数c>0使得S(α,θ,x)≤(x5/6+x1-θ/2)(lox)c,其中隐含的常数依赖于α,θ,c以及尖形式f.最近,对于α>0以及0<θ<1,Jiang以及Lii[26]进一步改进了上述结果,证明了如下估计当0<θ<1,当3/4<θ<1,其中隐含的大O常数依赖于α,θ以及尖形式f.应用[44]以及[42]中的一些方法,在本文中,我们将证明下面的估计.定理2 设α≠0为固定的实数并且θ满足0<θ<1.那么存在一个常数c≥ 28使得对于充分大的x,我们有S(α,θ,x)《(x3/4+θ/6+x9+5θ/14+x1-θ/2)logcx,其中隐含的大O常数依赖于α,θ,c以及尖形式f.很容易看出在1/3<θ<1/2以及1/2<θ≤ 3/4上,这个估计要比之前的结果好.另外当0<θ ≤ 9/16时,我们有S(α,θ.x)《(x§+§+x1-§)logcx.这一结果在某种程度上改进了之前的结果并且给出了S(α,θ,x)在0<θ<9/16上的一致性估计.在[42]中,Pi以及Sun还考虑了如下的指数和问题λf(p)(logp)e(kαpθ).对于任意的α≠0,θ ∈(0,9/32]和 kk ∈[1,x9/32-θ]或 θ ∈[1/2,9/16]以及k∈[1,X9/16-θ],他们得到λf(p)(logp)e(kαpθ)《(k1/2x1/2+θ/2+k1/6x3/4+θ/6+k-1/2x1-θ/2)xε,其中隐含的大O常数依赖于α,θ,ε以及尖形式f.注意到上面的结果没有给出θ∈(9/32,1/2)以及θ ∈(9/16,1)的估计.作为补充,我们将证明如下定理.定理 3 设 α≠0,对 θ ∈(0,9/16]以及 k∈[1,X9/16-θ],我们有λf(p)(logp)e(kαpθ)《k1/2x1/2+θ/2+k1/6x3/4+θ/6+k-1/2x1-θ/2)xε,其中隐含的大O常数依赖于α,θ,ε以及尖形式f.此外,对 θ ∈(9/16,1)以及 k∈[x9/16-θ,x1-θ],我们有λf(p)(logp)e(kαpθ)《kη1(k,x,θ)xη2(k,x,θ)+k1/2x1+θ)(logx)28,其中η1(k,x,θ)=3/2-η2(k,x,θ)=3/2+3θ/2-并且隐含的大O常数依赖于α,θ以及尖形式f.受到上述问题的启发,很多人也研究了关于Hecke-Maass尖形式的素变数指数和估计问题,即U(α,θ,x)=λg(p)(logp)e(αpθ),其中S是关于S/2(Z)的一个Hecke-Maass尖形式,λg(n)为其正规化的Fourier 系数.对于α≠o以及0<θ≤ 1/2,Hou[12]证明了存在常数c>0使得U(α,θ,x)《(x5/6+ x1-θ/2)(log x)c,其中隐含的大O常数依赖于α,θ,c以及尖形式g.对于α>0,Jiang以及Lu[26]得到U(α,θ,x)《(X5/6+x2+θ/3+x1-θ/2)(log x)9/2 当 0<θ<1,其中隐含的大O常数依赖于α,θ以及尖形式g.对于这类指数和,我们将证明下面的估计.定理4 设α≠0为固定的实数并且θ满足0<θ<1-7/64=0.890625.那么存在一个常数c ≥ 28使得对于充分大的x,我们有U(α,θ,x)《(x3/4+θ/6+x9+5θ/14+x1-θ/2)logc x+x7/64+θlogx其中隐含的大O常数依赖于α,θ,c以及尖形式g.注意到当0<θ ≤ 1-21/128时,有7/64+θ ≤(2+θ)/3.因此很容易看出在 1/3<θ<1/2 以及 1/2<θ<107/128=0.8359375 上,定理 4 要比之前的结果好.根据定理4以及定理4的证明,我们有下面的推论.推论1 假设L-函数/(s,g)的零点密度估计满足Ng(σ,T)《ε,gT2(1-σ)+ε.设α≠0为固定的实数并且θ满足0<θ<1-7/64=0.890625.那么存在一个常数c≥ 28使得对于充分大的x,有λ9(p)(logp)e(αpθ)《x7/64+θlogx+(x2-θ/2+x1+θ/2)xε,其中隐含的大O常数依赖于α.θ,ε以及尖形式g.推论2 假设I-函数/(s,g)的零点密度估计满足Ng(σ,T)《ε,g T2(1-σ)+ε.那么对充分大的x,我们有λg(p)(logp)e(αp1/2)《x3/4+ε,其中隐含的大O常数依赖于α.θ,ε以及尖形式g.