近年来，分数阶偏微分方程(FPDEs)在数学模型中的应用受到越来越广泛的关注。不同的FPDEs模型已被应用到越来越多的领域中，包括：材料，力学，以及生物系统等，并且发现FPDEs在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时比整数阶方程模型更有优势。FPDEs在数学建模上取得的进展，激发了人们研究数值算法的兴趣。本文从理论和数值计算两方面对分数阶扩散方程(FDEs)及其相关问题进行深入研究，主要内容包括以下三个方面：我们引进了一类新的利用分数阶导数定义的分数阶空间，并证明了此类空间与传统的分数阶Sobolev空间在范数意义下是等价的。利用这些结果我们导出了FDEs初边值问题的弱形式，并借助椭圆型问题的经典理论证明了弱解的存在唯一性。上述研究结果表明在Riemann-Liouville分数阶导数定义的情况下，分数阶扩散方程与弱形式的等价性证明不需要添加初值条件。相反地，在Caputo导数定义的情况下，该等价性则需要加初值条件来保证。基于上述弱解理论，我们计算时间分数阶扩散方程(TFDE)的数值解。TFDE与传统的扩散方程有本质的不同。对于前者，时间上的一阶导数被分数阶导数所代替，使得问题在时间上是全局的。我们提出将谱方法应用于TFDE时间和空间上的离散，给出最优误差估计证明该方法的收敛性，并用数值结果验证理论估计。归功于该方法在时间和空间方向上所具有的谱精度，我们能够有效地减少由全局时间依赖性所引起的对存储量的要求，从而可以计算长时间的解。我们考察用以描述神经细胞中离子反常扩散现象的分数阶Nernst-Planck方程。我们提出了一种时间有限差分／空间谱元法对该方程进行数值求解，并给出了数值方法的详细构造过程以及实现方法。数值结果表明数值解在空间方向上具有指数阶收敛精度，在时间方向上具有2-α(0＜α＜1)阶精度。最后，通过计算一个具有实际背景参数的问题说明所提方法的潜在应用。