【摘 要】
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特征值问题一直是微分几何领域中的焦点,而反谱问题又是特征值问题中困难却又引入入胜的一个分支,其中困难的一个体现就是存在着大量的反例。由于这些反例的存在,本文主要有两个研究目的,第一是研究等谱流形之间的谱不变量,探究特征值是如何决定流形上的几何或拓扑性质;第二是探究构造等谱流形的方法,其中包括了三位数学家Sunada,DeTurck与Gordon的接力。本文的研究方法是以热核方法统一全文并以迹公式为
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特征值问题一直是微分几何领域中的焦点,而反谱问题又是特征值问题中困难却又引入入胜的一个分支,其中困难的一个体现就是存在着大量的反例。由于这些反例的存在,本文主要有两个研究目的,第一是研究等谱流形之间的谱不变量,探究特征值是如何决定流形上的几何或拓扑性质;第二是探究构造等谱流形的方法,其中包括了三位数学家Sunada,DeTurck与Gordon的接力。本文的研究方法是以热核方法统一全文并以迹公式为主要的着落点,然而全文用到的数学知识是比较多的,包括了几何分析中的热核方法与拓扑群在流形上的作用理论和双曲曲面的知识的应用。全文在写作思想上特别注重于阐述想法的由来,在结构上是从一般到特殊再到一般:用一般的Riemann流形上的结论来理解特殊的双曲曲面上的谱的性质,再用特殊的结果去启发一般,证明了三种最经典的迹公式:长度迹公式,Sunada迹公式与Gordon迹公式。其中Gordon迹公式是Sunada迹公式的有力推广,总结了主要定理的证明思路,对其中涉及的思想与技巧加以分析。
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