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平移不变子空间是小波分析中重要的研究对象，而采样定理在信号通信等领域有非常广泛应用，这方面的研究在小波分析和信号处理领域中受到极大关注.本文主要研究了平移不变基样条子空间与采样相关的问题.
第一章，简单介绍伪框架理论，刻画了样条的伪对偶序列可以由L2(R)中函数y通过平移得到，其中函数y满足如下两个条件：(1)〈y，φ〉=1，(2)〈y，Tnφ〉=0，(ν)n≠0.其中φ表示样条函数。倘若再添加一些诸如可任意收缩紧支集和高光滑性的条件，我们依然可以找到伪对偶，这在一定程度上也体现了伪框架在实际运用中具有较好的灵活性.我们以二阶的对称样条为例，计算了它的伪对偶序列，并在计算的基础上，证明了对二阶样条平移作为Riesz基所张成的子空间X，任何的f∈X，都有f=∑fn(n)ψ(.-n).从而得到了二阶对称基样条空间的采样定理，并且进一步验证了：使得这样的采样公式成立，当且仅当样条函数的阶数为一或二.这也启示我们对于更高阶的样条，需要寻找新的方法.
第二章，先指出奇数阶的样条函数离散Fourier变换在实数轴R上具有零点，所以不满足Walter关于小波空间上采样定理的条件.然后给出一种改进的方法，在此方法基础上考察了三阶样条的空间，得到采样如下：f(t)=∑nf(n++1/2)ψ(t-n),其中(公式略)
第三章，研究平移不变基样条子空间的函数限制在有限区间上的采样特性，得到了高阶的采样公式.考虑到三阶样条在实际应用中的广泛性，重点考察了