在量子信息理论中,经常关注两个核心问题:（1）什么是两个信息相似?（2）什么样的过程能传送信息?本文涉及到的量子集逼近和α-保真度都与这些问题密切相关,并对这些问题提供定性和定量的答案。本文在量子监视背景下,考虑量子集的实现及其逼近问题;另一方面,利用α-保真度度量分析量子态经量子信道演化后变化程度以及量化Gaussian态的相似度。本文主要工作如下:1.研究量子集的量子实现和逼近问题。一方面,当输入和输出不均为2且局部的Hilbert空间维数为无穷大时,证明了存在量子集没有量子实现。即,存在一个无限维的量子集没有量子实现。事实上,这是在量子监视背景下对Tsirelson问题的重新表述。另一方面,当输入和输出均为2时,提供了一种能够逼近有限维Hilbert空间中量子集的方法,并利用此方法在一个2n维Hilbert空间上构造出一组普遍适用于具有两个输入和输出的量子集的投影,所需Hilbert空间维数2n取决于其近似精度。2.研究酉轨道的α-保真度的极值问题。通过利用重排不等式、矩阵迹不等式和最优化理论,给出了酉轨道的量子α-保真度最大值和最小值的显式公式,并指出了当两个量子态ρ和σ满足一定条件时,α-保真度取得最值。然后证明了α-保真度的最值构成一个闭区间且α-保真度的取值跑遍该区间。最后,展示了两个酉轨道的量子sandwichedα-Rényi相对熵,其最值可以用其经典形式来描述。3.分析经量子信道演化后量子态的α-保真度及其几何解释。本文通过取遍所有量子信道、保单位信道和混合酉信道,分别得到量子态的α-保真度的最值。进一步,本文根据密度算子和量子信道的闭凸集,阐述了α-保真度的几何解释,即,α-保真度可以作为两个空间之间距离的几何度量。4.研究具有可对角化二阶Hamiltonian的多维Gaussian态的α-保真度。借助矩阵表示法精确计算了两个多维Gaussian态的α-量子保真度,并给出了其解析式。为了验证该结论的普适性,本文将其结论分别应用于可分解系统中的单模位移压缩热态、双模位移压缩热态和不可分解系统中的Liu-Tombesi振荡器。