Boltzmann方程是非平衡态统计物理学中最重要的模型之一。从数学上来说,Boltzmann方程是一个积分微分方程。方程的右端项—碰撞算子,在实际中(考虑三维空间)是一个五重积分。同时,碰撞算子只是对速度变量v作用,关于t,x是局部的,这就给方程带来了某种程度上的退化。所以,不管从数值计算方面,还是从偏微分方程理论方面,Boltzmann方程的研究都是当前数学所面临的巨大挑战之一。对于均匀气体的空间齐次Boltzmann方程来说,迄今已有了相对深入的研究和了解。当然,这只是对刚势作用而言,有关软势的研究仍然比较少。不管怎样,对于空间非齐次Boltzmann方程,所得到的结果却还是相当缺乏的。关于完全Boltzmann方程的一个至今较满意的结果,就是二十多年前由DiPerna和Lions建立起来的重正规化理论。然而,重正规化解的唯一性与可微性质,仍然是一个开问题。二十多年来,人们对它做了不少的工作,对碰撞算子的性质也有了更深入的了解。然而,要解决这个开问题,也许需要新的工具和理论的出现。关于Boltzmann方程解对初始值的稳定性分析,已经有了不少的结果[4,58,100]。本文将从粘性分析的角度对Boltzmann方程进行了稳定性研究,据我们所知,这还是一个崭新的领域。这里的粘性方程是通过增加关于速度v的Laplacian项ε△_v得到的,这一项也称为Fokker-Plank项。从物理意义上来说,这是由于分子的扩散引起的。有趣的是,也许可以考虑关于x的Laplacian项进行粘性近似。但是,关于它的物理意义至今不清楚。本文得到的主要结果有二:一是对于角截断空间齐次情形,包括Maxwell分子势、刚势碰撞,本文给出了粘性近似解与原方程的解之间的一个精确的近似估计。需要说明的是,这些估计是依赖于时间的,这与粘性方程中粘性项的扩散效果有关;二是对于空间非齐次Boltzmann方程的情形,本文在重正规化框架下研究了粘性近似解的渐近行为,得到了:当粘性系数趋于0时,粘性近似重正规化解在L~1中收敛于非齐次Boltzmann方程的一个具有“亏损测度”的重正规化解。本文第一章介绍了有关Boltzmann方程的一些基本知识,包括一些基本概念、Boltzmann的H-定理、基本的先验估计、碰撞算子的性质。第二章介绍了关于Boltzmann方程的一些重要的结果,包括空间齐次Boltzmann方程解的存在唯一性、矩的估计、解的正则性与奇异性的传输、趋向于平衡态的问题,以及非齐次Boltzmann方程的重正规化理论和传输方程的速度平均理论。值得一提的是,有关Boltzmann方程的结果很多,这里主要是关于Cauchy问题的一些重要的结果,特别是关于具有角截断刚势的情形。其它的结果可以参见后面的参考文献。第三章主要研究了具有角截断Maxwell分子的粘性近似。利用基本解的表示,研究了粘性解(我们称之为温和解)的存在唯一性,并在C~0意义下得到了粘性近似的精确估计。第四章研究了刚势且具有角截断的空间齐次Boltzmann方程的粘性近似。利用Schauder不动点定理,证明了粘性弱解的存在性,并利用Gronwall不等式得到了解的唯一性。最后,在L_k~1,L_k~2意义下得到了粘性近似的精确估计。第五章主要研究了空间非齐次Boltzmann方程的粘性近似。首先,利用弱紧性分析,研究了粘性重正规化解的一致估计,并得到了在重正规化框架下粘性近似解的渐近行为。本文所用的主要工具,包括插值不等式、Q~+的Mouhot-Villani分解以及速度平均引理。