微分几何中的许多问题都可以转化为解一个完全非线性Hessian方程。例如Calabi猜想等价于求解紧K¨ahler流形上的一个复Monge-Amp`ere方程。而Minkowski问题等价于求解球面上的一个Monge-Amp`ere方程。共形几何中的k-Yamabe问题等价于求解闭流形上的完全非线性椭圆型Hessian方程。通过构造k-Yamabe流，这一问题还可以转化为求解完全非线性抛物型Hessian方程。另外，严格凸超曲面在其高斯曲率作用下的形变，利用高斯映射能够化为一个抛物型的Monge-Amp`ere方程。可见，完全非线性Hessian方程与几何等领域的研究密切相关。因此，对完全非线性Hessian方程的研究具有十分重要的理论意义和应用价值。　　本文研究了几类带边黎曼流形上的完全非线性Hessian方程，证明了其容许解的先验C2估计。由Evans-Krylov定理及Schauder理论可以得到解的更高阶估计。从而，应用连续性方法和拓扑度理论得到了方程解的存在性。具体地，本文得到以下成果：　　首先，对一类完全非线性椭圆型Hessian方程的Dirichlet问题证明了光滑解的存在性。作为这一结果的推论，共形几何中的一类预定负曲率问题有解，即在带边黎曼流形pM,gq上存在共形度量g，使得在流形的边界B M上g和g相同，并且在新的度量下参数化的（modified）Schouten张量Atg满足给定的方程。　　其次，对MT:“Mp0,T s上一类完全非线性抛物型Hessian方程的第一初边值问题证明了光滑解的存在性。与椭圆的情形一样，通过证明解的先验C2估计，得到了该问题的光滑解。为了避免对流形的边界添加过多的几何假设，这里利用了下解的存在性。完全非线性算子只需满足结构性条件。只有在证明梯度估计时，用到了一条技术性假设。　　最后，对一类完全非线性Hessian方程的障碍问题证明了C1,1解的存在性。这类问题常出现在寻找具有给定曲率限制的最大（或最小）超曲面的问题当中。作为应用，用同样的方法证明了共形几何中一类预定负曲率方程的障碍问题C1,1解的存在性。