量子霍尔效应最早是在强磁场下的二维电子气中观测到的,其量子霍尔电导可以表示为ne2/h,其中n为整数。这一结果开创了直接测量基本常数的新方法。随着研究的深入,人们发现量子霍尔电导中的整数n可以表示为在布里渊区中所有占据态贝里曲率的积分,揭开了拓扑物质研究的序幕。拓扑物质是具有奇特拓扑性质的物态,其拓扑属性可以用拓扑不变量来刻画。由于拓扑物质其拓扑性质不受器件构型的影响,具有极大的应用前景,因此人们在不断寻找新的拓扑物质,研究其具有的独特拓扑性质。在量子反常霍尔效应发现以后,由于其无耗散边界态在制造低能耗电子器件方面具有巨大潜力,如何在拓扑物质中实现量子反常霍尔效应成为重要的研究方向。最近,有报道称MnBi2Te4为本征反铁磁拓扑绝缘体,理论计算显示其表面态具有88 meV的能隙,并在其薄膜中观测到量子反常霍尔效应。然而最新的角分辨光电子能谱显示,其表面态有可能是无能隙的,这与之前的理论相差甚远。因此研究哪些因素会影响MnBi2Te4表面态的拓扑性质,以及如何进行量子反常霍尔效应调控不仅具有重要的理论价值,也有巨大的应用价值。此外,二维电子气在强磁场中会形成朗道能级,而朗道能级在样品边缘会发生形变与费米能相交,形成一维拓扑边缘态。拓扑边缘态以无损耗的方式运动,能够产生e2/h整数倍的量子霍尔电导。然而在三维电子气中,沿磁场方向的维度阻止了霍尔电导的量子化。因此,研究三维拓扑材料中,要形成三维量子霍尔效应需要哪些条件,不仅在理解奇异拓扑物态方面有重要的理论价值,在物态调控方面也具有应用价值。综上所述,本文将研究如何在三维拓扑半金属中实现三维量子霍尔效应,以及研究影响MnBi2Te4表面态拓扑性质的因素和如何调控MnBi2Te4薄膜中的量子反常霍尔效应。主要的研究成果如下:我们研究了拓扑半金属在外加磁场中的三维量子霍尔效应。我们展示了在拓扑半金属中费米弧表面态通过外尔点可以产生独特的三维量子霍尔效应。由于存在拓扑约束,单个表面的费米弧是开放的,无法产生量子霍尔效应。在外尔点通过“虫洞”隧穿,上下两个表面的费米弧可以完成费米闭合回路产生量子霍尔效应。费米弧的边界态表现出特有的三维分布,可以看作（d-2）维边界态的又一例证。此外,当费米面逐渐变化切过外尔点时,薄膜霍尔电导率由1/B依赖关系演变为量子化的平台。这一现象可以通过调节拓扑半金属平板的栅极电压来实现。我们还研究了最近新发现的本征反铁磁拓扑绝缘体MnBi2Te4表面态的拓扑性质。之前的理论预言MnBi2Te4中表面态会打开很大的能隙。然而最新的角分辨光电子能谱测量显示表面态的能隙不总是能观测到。为了解决这一理论预测与实验结果的分歧,我们从三维体哈密顿量出发,并考虑体磁化的空间分布,解析推导了半无穷结构单个表面的二维表面态有效模型。我们的计算结果显示,角分辨光电子能谱实验观测到的很小的表面态能隙可能是层内铁磁序变得更小和更局域造成的。此外,我们还计算了表面态的空间分布与穿透深度,计算表明表面态主要局域在样品表面的前两层七原层内。从我们的解析结果也可明确体参数对表面态的影响。同时,我们还推导了MnBi2Te4薄膜的表面态有效模型,展示了随厚度增加,有限尺寸效应减小。在样品较厚时,体磁化越局域,其有效磁化越小。我们还展示了陈数随奇偶层数变化在-1与0之间振荡。此外,我们研究了电场对本征反铁磁拓扑绝缘体MnBi2Te4薄膜中量子反常霍尔效应的调控。对于奇数层MnBi2Te4薄膜来说,如果电场诱导的势能V足够大,其霍尔电导会由原来的e2/h变为0,即陈数由1变为0。也就是说,随着V的增大,发生了由拓扑非平庸态到拓扑平庸态的量子相变。此外,由于偶数层MnBi2Te4薄膜具有PT（空间反演-时间反演）对称性,能带的贝里曲率为零。但是,当在垂直于表面方向加电场时,会破坏系统的PT对称性,此时能带会破除简并,产生劈裂,能带的贝里曲率不再为零。因此,对于偶数层薄膜,当费米面切到能带时,外加电场会使偶数层薄膜的反常霍尔电导由0变为有限大小。但与奇数层不同的是,当费米能落在能隙中时,其霍尔电导依然为0,不随V的改变而改变,即不会产生拓扑相变。