【摘 要】
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极值图论最早的一个定理是由Mantel在1907年提出。他证明了n个顶点且不包含三角形作为子图的边数最多的图一定是K[n/2],[n/2],一个两部分大小尽可能相等的完全二部图。1941年Turan将这个定理推广到了不包含一般的t-团（t个点的完全图）作为子图,证明了对给定顶点数目且不包含t-团作为子图的边数最多的图一定是每两部分大小尽可能相等的（t-1）-部完全图。由于Turán的开创性工作,对
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极值图论最早的一个定理是由Mantel在1907年提出。他证明了n个顶点且不包含三角形作为子图的边数最多的图一定是K[n/2],[n/2],一个两部分大小尽可能相等的完全二部图。1941年Turan将这个定理推广到了不包含一般的t-团（t个点的完全图）作为子图,证明了对给定顶点数目且不包含t-团作为子图的边数最多的图一定是每两部分大小尽可能相等的（t-1）-部完全图。由于Turán的开创性工作,对于一个图集H,我们将求给定顶点数目且不包含H中任意一个图作为子图的边数最多的图的问题统称为Turan-类问题。在本篇论文中,我将从原始的Turán问题出发,讨论一些与之相关的极值问题。第二章中,我们考虑确定最小t-团饱和边数目问题。这个问题最早是由Erd?s和Tuza提出的,他们猜想最小4-团饱和边数目为（1+o（1））n2/16。Balogh和Liu通过构造否定了这个猜想,并且得到了最小4-团饱和边数目的近似最优解是（1+o（1））2n2/33。同时他们对于所有大于4的正整数t提出了最小t-团饱和边数目为（1+o（1））2（t-3）2n2/（t-1）（4t2-19t+23）的猜想。我们通过推广Balogh和Liu的方法,并引入新的思想证明了他们所提出的猜想。在第三章中,我们考虑一个推广的Turán-类极值问题。对于给定的正整数m和f,令σ（m,f）=lim supn→∞|Sn（m,f）|/（2n）,其中Sn（m,f）表示所有满足对于任意一个n个顶点e条边的图都包含一个m个顶点f条边的诱导子图的正整数e的集合。作为对Erd?s提出的极值问题的自然推广,研究σ（m,f）这个问题最早是由Erd?s,Füredi,Rothschild和Sós在二十多年前提出的。他们证明了 σ（m,f）=1仅对五个特殊的数对（m,f）成立,而对于所有其他数对,σ（m,f）≤2/3。另一方面,有无限多数对满足σ（m,f）≥ 1/12。这里,我们改进了上述结果,并回答了他们提出的问题,通过证明实际上所有不是上述五个特殊的数对（m,f）,σ（m,f）≤1/2。并且存在无限多数对满足σ（m,f）=1/2。Erd?s等人对于当f具有特定形式的时候,给出了一个下界σ（m,f）≥1/r,并且猜想等式在这些情况下成立时。他们证明了对于r≥ 9等式成立。我们将此扩展到r≥5以及r=2的情况。在第四章中,我们主要讨论的是t-团覆盖问题。当t=2时,这个问题就是边覆盖问题。最早是由Erd?s,Goodman和Pósa提出并解决的。他们证明了对于任意一个n个顶点的图,都可以用至多[n2/4]个团将这个图里面所有的边都覆盖。当t≥ 3时,Dau,Milenkovic和Puleo将上面的边覆盖问题推广到一般的t-团覆盖问题,问对于任意一个n个顶点的图至多需要用多少个团可以将这个图中的所有t-团都覆盖。他们猜想最多需要用到Turán图Tt（n）中所包含的t-团的个数那么多个团就可以将任意一个n个顶点的图中所有t-团都覆盖,并证明了t=3的情况。这里我们主要研究猜想在t=4时的情况。
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