长期以来,共轭类的某些数量性质与有限群的结构的关系是有限群论研究的重要的课题之一。许多群论学者都参与了这一课题的研究,而且获得了大量的研究成果,这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用。在共轭类的众多的数量性质中,有关共轭类长与共轭类长的个数的研究非常活跃。本文则着重围绕以下两方面的研究进行的:Ⅰ.某些元素的共轭类长的个数是定数与这些元素所在的某一子群的结构之间的关系;进而,我们能否减少那些共轭类的个数?Ⅱ.某些元素的共轭类长具有某种特定的数量性质的有限群。众所周知,对于Ⅰ的研究,人们首先研究了所有的元素的共轭类长的个数是定数的有限群;后来又研究了p-正则元的共轭类长的个数是定数时所对应的p-补的结构;近来,人们又开始对研究素数幂阶元的共轭类长的个数是定数时的有限群产生了极大的兴趣。从这些研究中我们可以发现,如何有效地减少共轭类的个数是人们对Ⅰ这一问题研究的关键所在。如果N是有限群G的一个正规子群,那么N是群G的一些共轭类的并,显然,N中所含的G-共轭类的个数小于等于G中的共轭类的个数。所以通过正规子群中的G-共轭类长的个数来研究正规子群的结构是减少共轭类个数的有效手段之一,也是本博士学位论文的核心内容。具体地来讲,第三章主要研究了正规子群中的G-共轭类长的个数等于2时的正规子群的结构,从而推广了Ito的关于具有两个共轭类长的有限群的相应结果;在第四章中,我们进一步减少共轭类的个数研究了N中的素数幂阶元的G-共轭类具有两个不同的长时的N的结构;在第五章中,我们研究了N中的G-共轭类具有三个不同的长时的情形。在以上结果的基础上,我们分别研究了N的p-正则的G-共轭类长与其相应的p-补的结构之间的关系。在本文的第六章中我们尝试着把一些与Ⅱ相关的一些已有结果作了一定的推广。具体来说,我们对素数幂阶π′-元的共轭类长是π′数,π-数或者τ-数的有限群的结构做了一定的描述,其中,τ=π∪{q,r},q,r是不同的素数且q,r(?)π。从以上有关共轭类长的研究可以看出,很多情形下,我们只需要考虑一些共轭类的某种性质就可以对有限群的结构作出一定的回答,而不需要考虑所有的共轭类,这种局部化的思想在有限群的其他研究领域中也被广泛的应用。在本文的最后一章,作为这种局部化思想的应用,我们尝试着研究了某些子群在某一局部子群中的π-拟正规性对有限群结构的影响,并把相应的结果推广到包含超可解群类的饱和群系上。