众所周知，系统的稳定性是系统最基本也是最重要的性能之一，是任何系统分析和控制系统设计都必须首先考虑的问题，不能保证稳定的系统是谈不上其他品质的。自1892年运动稳定性理论基础由Lyapunov建立以来，这一理论已被全世界及众多领域所接受，同时，随着科学技术的发展，在Lyapunov运动稳定性理论基础上产生了部分稳定性，即关于系统部分状态变量的稳定性。1957年以来，人们逐渐认识到部分稳定性的重要性，随后这一理论也得到了全世界的认可，与之相关的研究也得到了极大发展。首先，研究部分变量的稳定性理论本身是一种重要的思想和方法。自然界中的许多现象，社会经济中的许多问题，实际工程中的许多技术等隐藏了许多动态规律，这些规律可由不同的系统来描述，由于其结构复杂，因素众多，对有些问题的处理变得非常困难，需要人们首先弄清楚系统中部分状态的动态行为，进而去获得整个系统的动态特性。其次，部分变量的稳定性理论也是实际的需要。在许多实际问题中，有时人们只对一部分状态变量感兴趣，或因技术上的困难对另一部分变量无法控制和测定，这就要求人们去研究系统部分变量的稳定性特性。再次，部分变量的稳定性也是客观事物的真实反映。在许多科学技术问题中，对于一个系统，其各个变量的稳定性特性可能不一样，尽管对系统的一些变量不稳定，但对于系统的另一些变量是稳定的甚至是渐近稳定的；或者对于一个系统，其中一些变量是稳定的，而另一些变量是渐近稳定的或指数稳定的，因此，对系统部分稳定性的研究无疑具有重要的理论意义和实用价值。最后，关于系统部分稳定性的理论及应用研究是一个近代课题，它的理论还没有全体变量的稳定性完善，一般理论结果还未建立，许多已存在结果还可进一步推广，而且关于部分变量的可镇定性结果也不多，本文将系统深入地进行这方面的研究。基于以上考虑，本文主要针对常微分系统、时滞系统和随机线性系统，研究了系统的部分变量稳定性、部分状态镇定及部分变量稳定性的应用等问题。不仅得到了相应系统各种部分变量稳定性所满足的条件，还揭示了微分系统的部分解与Lyapunov函数及时滞系统与确定性系统之间各种部分稳定性的必然联系。具体内容如下：针对常微分方程组，研究了各种部分变量稳定性、吸引性与K类函数及L类函数的之间的关系，导出了一些等价关系，利用这些等价关系，讨论了系统的各种部分变量稳定的逆定理，得到了通过系统的部分解构造出的适当的Lyapunov函数所满足的必要条件。作为部分变量稳定性逆定理的一些应用，在一定条件下，讨论了几类非线性微分系统的部分一致稳定、部分渐近稳定和部分指数稳定及一类时滞系统的部分指数稳定性问题，并进一步研究了非线性系统持续扰动下的部分稳定性特性。对于微分动力系统，建立了部分等度渐近稳定、部分指数稳定的相关判据。在减弱系统的一些假设条件下，讨论了微分系统零解的部分渐近稳定和持续扰动下的部分稳定性，得到了一系列充分条件，这些结果推广和改进了一些相关文献中的相应结论。同时，利用分离变量自治系统Lyapunov函数方法，讨论了一类非线性时变系统的部分变量全局稳定性，所讨论模型及所得结果均推广了有关文献中的模型及相应结论。并利用M矩阵的性质，给出了一类时变控制系统零解的部分镇定控制器的设计方法，其中一些控制器仅与部分状态变量有关。讨论了几类时变微分系统和几类时滞系统的部分变量稳定性问题。利用线性系统的Cauchy矩阵解、截断Cauchy矩阵解和常数变易法，研究了微分系统在部分变量线性扰动和非线性扰动下的各种部分变量稳定性，得到了一些充要条件和充分条件。进一步运用此方法，将非线性系统中含有时滞项的部分作为线性系统的扰动项，分别对含有单时滞、多时滞及全时滞的几类时滞系统的部分变量一致渐近稳定性和部分变量指数稳定性作了详细讨论，所得结果中包括时滞相关和时滞无关性判据。最后给出的实例说明了结果的有效性。基于大系统的分解集结方法，研究了大系统的部分变量稳定性及部分变量镇定控制器的设计方法。利用数量与向量Lyapunov函数法、矩阵的性质和有关不等式，研究了孤立子系统为部分稳定及具有不稳定孤立子系统的两类大系统的部分渐近稳定性和部分指数稳定性，在关联项满足一定的条件下得到了一系列充分条件，其主要结果推广了已有文献中的相应结果。同时，利用这些方法研究了两类部分镇定控制器的设计方法。当控制大系统具有不稳定孤立子系统时，讨论了控制大系统的非线性反馈控制；当不知道控制大系统的孤立子系统的稳定性时，利用带有部分状态线性反馈控制项的孤立子系统的部分稳定性，讨论了控制大系统的部分状态变量线性反馈控制，基于矩阵的性质及不等式分析，分别导得了保证控制大系统部分状态渐近镇定的充分条件，所得结果改进和推广了有关文献中的相应结论。提出了部分变量相对稳定性的新概念，利用Lyapunov函数法建立了两个不同维数系统之间的部分变量的相对稳定性定理，这些概念和定理包含了Lyapunov稳定性及部分稳定性概念和有关定理。然后利用所建立的部分相对稳定性理论，讨论了两个刚体角运动双向耦合的部分变量线性反馈的部分同步控制和部分变量的非线性单向反馈的部分同步控制。最后利用自适应控制设计方法，研究了两个不同的混沌系统之间通过单向耦合使得部分变量同步，所设计的控制器实现了具有不同结构的两个混沌系统的部分状态的同步。仿真结果说明了所采用方法的可行性。对oIt随机线性系统部分变量的强稳定性问题进行了讨论。借助随机线性系统的Cauchy矩阵解及其截断Cauchy矩阵解，通过引进随机线性系统左截Cauchy矩阵解和右截Cauchy矩阵解，研究了随机线性系统部分变量的几乎必然强稳定性，得出了该系统只依赖于左截Cauchy矩阵的有界性和右截Cauchy矩阵的渐近性的各种几乎必然强稳定性之间的等价条件，并结合测度的单调性与连续性，得出了线性oIt随机系统部分变量的依概率各种强稳定性的等价关系，这些结果推广了已有文献中的相应结论。