自20世纪60年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、模式识别、信号处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，都提出了“由效果、表现(输出)反求原因、原象(输入)”的反问题，通称“数学物理反问题”。由于此类问题有着广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性，因而吸引了国内外许多学者从事该项理论研究。迄今为止，它已发展成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统科学中的一个热门学科方向。而对于波动方程反演问题的研究，又是众多反问题中应用前景比较广泛的问题之一， 波场正演是指由震源的位置、形状及分布情况来探究地震波在地下介质的分布与传播情况。波场反演是在已知某些点的地震记录后去反推震源，地球介质的物性参数与几何参数，例如介质的密度、弹性参数，介质的波速等。波场正反演问题的研究主要来源于地球物理数据处理与分析问题的研究。本来数据处理应属于信息科学的范畴，但地球物理数据有它的特殊性，既满足相应的场方程。地球物理场由偏微分方程描述，因此与地球物理有关的数学问题实际上就是微分方程的正问题与反问题。 20世纪70年代，随着深度探矿事业的发展，需要研究地质的岩性特征，但常规的处理技术已不能满足研究岩性的需要，人们开始注意波动方程反问题的研究，用来估计复杂的地质参数。由于地球是一个庞大复杂，不断变化的物理体，在地震勘探中，我们只能得到地表上和地下很少的部分的数据，不能也不可能得到波场的全部信息。为了获得地震资料解释的最佳方案，提高地震资料解释的可靠程度，减少普查勘探新矿床所需的钻探成本，体现找油找矿的巨大经济效益，十分有必要对波场所满足的弹性波偏微分方程正演与反演问题进行研究。 波动方程反演问题研究的历史不过二十几年，但仍然是一个热点问题，在地震勘探中，用人工震源激发地震波，然后将接受器收到的地震波所带来的介质质点的振动记录下来。这个记录是野外地震记录，它只给出了波场的部分信息。根据这个野外记录来假设地质模型，即正演模型，在此基础上模拟地震勘探，以得到理论地震合成记录，作为波场反演的附加条件，确定反演问题。 波动方程反演问题的求解已发展了各种方法，诸如脉冲谱技术(PST)、广义脉冲谱技术(GPST)、最佳摄动法、蒙特卡罗方法(Montecarlomethod)、渐进展开法、各种优化方法和正则化方法等；目前大量工作集中在一维波动方程的反演方法上，二维及三维波动方程的反演还仅处于理论探索阶段，用于实际尚需时日。 波动方程反演问题具有不适定性和非线性性，所谓的不适定性，就是说，如果对于一个数学物理问题中的定解问题，下面的三个条件之中有一个被破坏了：1.解是存在的，2.解是唯一的，3.解是连续依赖于数据的。则称这个定解问题是不适定的。这里的“数据”是指在定解问题中出现的一切已知量，如微分方程中的参数、初始条件或边界条件等，解连续依赖于数据就是说当数据有“微小”的变化时，解的改变量也“很小”。 本文主要利用摄动法和正则化方法研究了二维弹性波方程参数反演方法，并通过理论算例验证了方法的正确性和可行性。 本文首先总结了弹性波方程正反演问题的意义和主要方法，介绍了弹性波方程正反演问题求解的数学基础，即有限差分法、泛函和非线性泛函的有关内容、Green函数的求取及病态线性代数方程组的稳定解法，利用有限差分法在时间域和频率域中对二维弹性波方程正演问题进行了求解计算，并从正演结果中提取了理论地震合成记录，为二维弹性波方程参数反演奠定了基础，同时，在正演的计算过程中，我们发现在频率域中进行差分运算要比在时间域中进行差分运算更适合计算和实际应用，并且讨论了固定边界条件和吸收边界条件对波动方程反演问题的影响，我们发现，虽然边界条件的不同会对波场有影响，但是如果我们把时间限制的很短，那么，使用固定边界条件和吸收边界条件来进行正演计算，结果就不会有太大的影响。其次，利用小摄动法对二维弹性波方程进行了参数反演，推导出了参数反演所应满足的第一类Fredholm型积分方程，由于此积分方程离散成的线性代数方程组是病态的，因此利用正则化方法克服其病态性并对其进行了求解。最后通过对理论模型的计算，验证了本文所得到的二维弹性波方程参数反演方法的正确性和可行性。