【摘 要】
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最优化理论与方法是运筹学中的一个重要研究方向.在最优化理论中,凸性假设被广泛使用,但在实际问题中,函数或集合大多数是非凸的,因此非凸分析变得愈发重要.误差界在变分分析和非凸优化理论中起着重要作用,其中,弱尖锐性解、水平集次微分误差界和Lojasiewicz（简称L）不等式是三类重要的误差界.本文主要研究了α-弱凸和逼近凸这两类非凸函数弱尖锐性解、水平集次微分误差界、L不等式之间的等价性及其应用.主
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最优化理论与方法是运筹学中的一个重要研究方向.在最优化理论中,凸性假设被广泛使用,但在实际问题中,函数或集合大多数是非凸的,因此非凸分析变得愈发重要.误差界在变分分析和非凸优化理论中起着重要作用,其中,弱尖锐性解、水平集次微分误差界和Lojasiewicz（简称L）不等式是三类重要的误差界.本文主要研究了α-弱凸和逼近凸这两类非凸函数弱尖锐性解、水平集次微分误差界、L不等式之间的等价性及其应用.主要内容如下:1.刻画了两类非凸函数误差界之间的等价性.首先,建立了下半连续（l.s.c.）函数弱尖锐性解、水平集次微分误差界和L不等式之间的关系.同时,我们获得了 α-弱凸函数的一个重要性质,并借助该性质,得到了指数分别为0＜α ≤ 1和α=0的α-弱凸函数弱尖锐性解、水平集次微分误差界和L不等式之间的等价关系,以及在逼近凸函数的假设下也得到了这三类误差界之间的等价性.2.将误差界的等价性应用于非凸复合优化问题（COP）.首先,获得了由一类非凸复合函数（内函数是C1,β（0≤β）,外函数是指数为0＜α≤1的α-弱凸函数或逼近凸函数）与l.s.c.凸函数构成的和函数是α-弱凸函数（0 ≤α≤1）这一性质.借助该性质,建立了非凸问题（COP）的弱尖锐性解、水平集次微分误差界和L不等式之间的等价性.3.将误差界的等价性应用于lp正则化问题.首先,本文借助于降维后lp正则化问题的目标函数是凸函数,利用已经建立的弱尖锐性解、水平集次微分误差界和L不等式之间的等价关系,获得了降维后lp正则化问题满足指数为1的水平集次微分误差界和指数为1/2的L不等式这一结论.进而,借助次微分的链式法则等工具得到了原lp正则化问题满足指数为1的水平集次微分误差界和指数为1/2的L不等式这一结论.
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