【摘 要】
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2008年,Chartrand等人以网络安全性度量为应用背景,首次介绍并研究了图的彩虹连通数.彩虹连通数是经典连通性概念的一种加强,也是一个重要的染色问题,引入至今,受到了Krivelevich教授、Chandran教授、Schiermeyer教授、李学良教授和史永堂教授等国内外图论专家学者的广泛关注,现已成为图论研究中的一个热点课题.作为一个自然的推广,彩虹顶点连通数,全彩虹连通数,彩虹指标以及
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2008年,Chartrand等人以网络安全性度量为应用背景,首次介绍并研究了图的彩虹连通数.彩虹连通数是经典连通性概念的一种加强,也是一个重要的染色问题,引入至今,受到了Krivelevich教授、Chandran教授、Schiermeyer教授、李学良教授和史永堂教授等国内外图论专家学者的广泛关注,现已成为图论研究中的一个热点课题.作为一个自然的推广,彩虹顶点连通数,全彩虹连通数,彩虹指标以及彩虹顶点指标的概念陆续被引入.本文我们提出了全彩虹指标的概念,并对几类特殊图的彩虹顶点指标和全彩虹指标进行了研究.本文共包括四章.第1章,我们介绍了文章中需要用到的基本概念,并给出了需要用到的符号和术语.第2章,我们首先确定了圈Cn的3-彩虹顶点指标,当3≤n≤4时,rvx3（Cn）=0;当n≥5时,rvx3（Cn）=n-4.同时当G是仅有一个圈的非圈图且围长为g（G）时,证明了若3≤g（G）≤4,则rvx3（G）≤n-3;若g（G）=5,则rvx3（G）≤n-4;若g（G）≥6,则rvx3（G）≤n-5.其次我们利用图G的直径,研究了补图G的3-彩虹顶点指标,其主要结果如下:若diam（G）≥4,则rvx3（G）=1;若diam（G）=3,则1≤rvx3（G）≤2;若G不连通,则0≤rvx3（G）≤1;若G不包含三角形且diam（G）=2,则rvx3（G）=1.最后我们研究了Θ-图的3-彩虹顶点指标;证明了阶为6的2-连通图G的3-彩虹顶点指标是2当且仅当G是3-sun的连通生成子图;以及利用图的细分及耳朵分解定理,给出了2-连通图和2-边连通图的3-彩虹顶点指标紧的上界.第3章,我们将彩虹指标和彩虹顶点指标的概念进行推广,给出了全彩虹指标的定义,并做了如下工作:首先我们刻画了圈Cn以及仅包含一个圈的非圈图G的3-全彩虹指标;为一般图的3-全彩虹指标提供了一个紧的上界.其次我们确定了所有点数为8或更少的三度正则图的3-全彩虹指标,即trx3（K4）=2,trx3(K3,3)=trx3（K3 K2）=trx3（Q3）=trx3（M8）=4,trx3（F1）=trx3（F2）=trx3（F3）=6.最后我们利用图的细分给出了Θ-图的3-全彩虹指标;研究了阶为6的2-连通图G的3-全彩虹指标是6当且仅当G是3-sun的连通生成子图;根据以上两个结论及耳朵分解定理,给出了2-连通图和2-边连通图的3-全彩虹指标紧的上界.第4章,我们对本文进行了总结,并给出了后续研究问题及方向.
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