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本文分两部分对常微分方程Neumann边值问题进行讨论.在第一章中，我们主要使用极大极小原理对一类2m阶常微分方程Neumann边值问题得到了基态解的存在性的新的结果.在第二章中，我们使用对偶喷泉定理得到了一类2m阶常微分方程Neumann边值问题无穷多解的存在性的新的结果. 下面我们对本文的主要结果加以具体阐述: 在第一章中，我们主要研究下面2m阶Neumann边值问题:{（-1）mu(2m)+∑mi=1（-1）m-iaiu（2（m-i））=f(t,u），t∈[0,1], ai∈R1(1.1.1)u(2i+1)(0)=u(2i+1)(1)=0,i=O,1,2,…,m-1,其中f∈C([0,1]×R1). 并且对f做如下假设: (f1)存在C0＞0，使得|f(t，u)|≤C0(|u|+||u|p-1)，(t，u)∈[0，1]×R1，其中p＞2; (f2)f(t,u)=o(u)，u→0，对t∈[0，1|一致成立; (f3)存在α＞2，使得αF(t，u)≤uf(t，u)，(t，u)∈[0，1]×R1; (f4)存在R＞0，使得inf t∈[0，1],|u|＞R F(t，u)＞0; (f5)任给t∈[0，1],f(t,u)/|u|关于u严格递增. 文中运用极小极大原理于问题(1.1.1)，得到了基态解的存在性结果.这是关于2m阶常微分方程Neumann边值问题基态解的存在性的新的结果. 主要结果如下: 定理1.3.4若(f1)-(f5)满足，则问题(1.1.1)在C2m[0，1]中有一基态解. 在第二章中，我们研究下面2m阶Neumann边值问题:{（-1）mv(2m)+∑mi=1（-1）m-iaiv(2（m-i））=μ|v|q-2v+λ|v|p-2v，t∈[0，1]， ai∈R1v(22+1)(0)=v(2i+1)(1)=0,i=0,1,2,...,m-1,(2.1.1)其中λ，μ是参数. 主要结果如下: 定理2.3.1若f(t，v)=μ|v|q-2v+λ|v|p-2v，则对所有μ＞0，λ∈R1，问题(2.1.1)有一列非平凡解{vn}∞n=1，使得ψ(vn)＜0，且有ψ(vn)→0，n→∞. 定理1.3.4和定理2.3.1是关于2m阶常微分方程Neumann边值问题解的存在性的新的结果，是本文的创新之处.