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本文分两部分对常微分方程Neumann边值问题进行讨论.在第一章中,我们主要使用极大极小原理对一类2m阶常微分方程Neumann边值问题得到了基态解的存在性的新的结果.在第二章中,我们使用对偶喷泉定理得到了一类2m阶常微分方程Neumann边值问题无穷多解的存在性的新的结果. 下面我们对本文的主要结果加以具体阐述: 在第一章中,我们主要研究下面2m阶Neumann边值问题:{(-1)mu(2m)+∑mi=1(-1)m-iaiu(2(m-i))=f(t,u),t∈[0,1], ai∈R1(1.1.1)u(2i+1)(0)=u(2i+1)(1)=0,i=O,1,2,…,m-1,其中f∈C([0,1]×R1). 并且对f做如下假设: (f1)存在C0>0,使得|f(t,u)|≤C0(|u|+||u|p-1),(t,u)∈[0,1]×R1,其中p>2; (f2)f(t,u)=o(u),u→0,对t∈[0,1|一致成立; (f3)存在α>2,使得αF(t,u)≤uf(t,u),(t,u)∈[0,1]×R1; (f4)存在R>0,使得inf t∈[0,1],|u|>R F(t,u)>0; (f5)任给t∈[0,1],f(t,u)/|u|关于u严格递增. 文中运用极小极大原理于问题(1.1.1),得到了基态解的存在性结果.这是关于2m阶常微分方程Neumann边值问题基态解的存在性的新的结果. 主要结果如下: 定理1.3.4若(f1)-(f5)满足,则问题(1.1.1)在C2m[0,1]中有一基态解. 在第二章中,我们研究下面2m阶Neumann边值问题:{(-1)mv(2m)+∑mi=1(-1)m-iaiv(2(m-i))=μ|v|q-2v+λ|v|p-2v,t∈[0,1], ai∈R1v(22+1)(0)=v(2i+1)(1)=0,i=0,1,2,...,m-1,(2.1.1)其中λ,μ是参数. 主要结果如下: 定理2.3.1若f(t,v)=μ|v|q-2v+λ|v|p-2v,则对所有μ>0,λ∈R1,问题(2.1.1)有一列非平凡解{vn}∞n=1,使得ψ(vn)<0,且有ψ(vn)→0,n→∞. 定理1.3.4和定理2.3.1是关于2m阶常微分方程Neumann边值问题解的存在性的新的结果,是本文的创新之处.