在历史上，图论与化学有着非常紧密的联系。化学结构可以很简单地表示成图的形式，这样的图也称为化学图，或者分子图。分子的拓扑指标足从化学图集合到实数集合的一个映射，理论化学家和数学家提出了众多的拓扑指标并进行研究.本文主要研究一种广受化学家和数学家关注的拓扑指标--Randic指标，研究Randic指标与图的其它若干不变量之间的关系，如色数，半径，直径，最小度，最大度，阶数和边数，等等.　　 1975年著名理论化学家、数学化学家Randic提出了连通性指标，即Randic指标。(化学)图G的Randic指标定义为R(G)=∑uv∈E(G)(d(u)d(v))-1/2，其中d(u)表示图G中顶点u的度数。Randic指标与分子的物理化学性质，如沸点、表面积等，都有着紧密的联系。1998年，著名数学家Bollobas和Erdos将R(G)中的-1/2替换为任意的实数α，从而提出了广义Randic指标的定义。理论化学家和数学家对广义Rndic指标进行研究，并且得到了很多重要而深刻的结果。　　 第一章是引言部分，介绍了Randic指标的定义、研究背景，以及本文中涉及到的相关概念和基本知识。以下五章为本文的主要贡献：　　 在第二章中，我们指出了Hansen和Melot的文章[Variable neighborhoodsearch for extremal graphs6：Analyzing bounds for the connectivity index，J.Chem.Inf.Comput.Sci.43(2003)，1-14]中两个定理证明的错误，并给出了正确的证明.这两个定理刻画了化学树的Randic指标和叶子点数之间的联系.　　 在第三章中，我们讨论了图G的Randic指标R(G)和最小度δ(G)之间的关系，并部分解决了Bollobas和Erdos提出的公开问题。1988年，Shearer证明了如果图的最小度δ(G)≥1，那么R(G)≥√G≥√n/2，几个月后Alon将这个界改进到√n-8。1998年，Bollobas和Erdos证明，如果δ(G)≥1，则有R(G)≥√n-1，其中等号成立当且仅当G是星图。Bollobas和Erdos提出如下问题：给定图G的最小度δ(G)，R(G)的最小值是多少?在2002年，Delorme，Favaron和Rautenbach针对这一问题提出了如下猜想：如果图G的最小度δ(G)≥k，那么R(G)≥k(n-k)/(√k(n-1)，其中等号成立当且仅当图G是由完全二部图Kk，n-k做如下变换得到：在Kk，n-k知含有k个顶点的那部分内的任意两个顶点连一条边.提出猜想后，他们证明了k=2时猜想是成立的。我们验证了k=3时猜想的正确性，由此很容易地得到猜想中的不等式对所有的化学图也是成立的。更进一步，我们证明了当k≥4时，如果图的顶点数满足n≥3/2k3，则猜想是成立的。　　 在第四章的第一部分，我们完全解决了Caporossi和Hansen提出的关于图的Randic指标和色数的猜想：对顶点数n≥2的连通图G，R(G)≥x(G)-2/2+1/√n-1(√X(G)-1+n-X(G))，而且对所有的n以及2≤X(G)≤n，这个界是紧的，其中图G的色数X(G)是指使得图G有正常顶点着色(相邻顶点所着颜色不同)的最小颜色数目.在第二部分中我们考虑了Fajtlowicz提出的关于图的Randic指标和半径的猜想：对任意连通图G，R(G)≥r(G)-1，其中图G的半径r(G)=minν∈G mayu∈(G)d(u，ν)。根据Erdos等人的关于图的半径和最小度的结果，我们证明了若G是具有n个顶点，最小度为δ(G)的连通图，如果δ(G)≥n/5且n≥25，则猜想成立；更进一步，对任意实数0<ε<1，如果δ(G)≥εn，则对充分大的n，猜想都是成立的。　　 在第五章中，我们考虑了具有n个顶点、m条边的化学图的广义零阶Randic指标的极值问题，其中广义零阶Randic指标定义为0Rα(G)=∑u∈V(G)d(u)α。对任意的实数α，我们用图的顶点数和边数给出了广义零阶Randic指标的严格上界和下界，刻画了相应的极图。　　 在第六章中，我们研究了图G的反比度I(G)和直径D(G)的关系，其中反比度的定义为I(G)=0R-1(G)=∑u∈V(G)1/d(u)。Erdos，Pach和Spencer证明，对具有n个顶点的连通图G，若I(G)≥3，则有(2/3[r/3]+o(1)logn/loglogn≤μ(n，r)≤D(n，r)≤(6r+o(1))logn/loglogn，其中μ(G)是图G的平均距离，μ(n，r)=max{μ(G)：I(G)≤r}，D(n，r)=max{D(G)：I(G)≤r}。Dankelmann等人将此上界改进了2倍，即D(G)≤(3I(G)+2+o(1))logn/loglogn。针对树和单圈图，我们将Dankelmann等人的上界改进了4/3·lolgn/loglogn倍，并且证明此时的界是最好的，确定了达到此上界的极图。