算子理论产生于20世纪初,由于其在数学和其它学科中的厂泛应用,在20世纪的前三十年就得到了很大的发展。算子范数不等式或等式蕴涵着算子自身的诸多性质,所以针对算子范数不等式或等式的研究由来已久。近年来关于不等式的论文层出不穷,这个领域非常活跃,其中一些论文揭示了新的不等式,另一些论文则对经典不等式做出了改进和推广,还有一些论文则给出了不等式大量的多方面应用,各种各样的不等式由于找到了它们共同的来源被联系起来了。一个算子矩阵是一个以算子为元素的矩阵,这些算子都是相应希尔伯特特空间上的有界线性算子。本文作者就是借助算子矩阵、函数的凸性和凹性、谱分解、函数演算等为工具,将许多经典的不等式加以推广并给出一系列重要的算子不等式与范数不等式。 本文共分四章: 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号,定义及其一些比较著名的或已知的一些定理等。首先我们介绍了一些符号的表示意义,接着引入了矩阵的惯性指数、数值域、算子的奇异值和酉不变范数等概念,而后给出一些熟知的定理如谱定理、谱映射定理,极分解定理等。 第二章主要应用凸函数和半范数的性质对古典Bohr不等式进行了推广。古典Bohr不等式即如果a,b都是复数,p,q>1且1/p+1/q=1,那么|a-b|²≤p|a|²+q|b|²。我们验证了如果pi>1（i=1,2,…,n）,而且∑₍i=1_<sup>n 1/（pi）≤1,当x是一个带有半范数u（·）的向量空间,那么,就有对所有的x₁,x₂,…,x_n∈x,有u(∑_{i=1<sup>n xi}²≤∑_i=1² piu（x_i）²,这个不等式推广了古典的Bohr不等式,相应地我们可得到Bohr不等式的算子形式。 第三章从研究紧算子奇异值的性质出发,由于范数不等式与算子的奇异值有着非常密切的关系,进而导出了一些重要的算子范数不等式,如Clarkson不等式。我们引入1的n次方根即ω₀,ω₁,…,ω_n-1,这里ω_j=e（2πij）/n,0≤j≤n-1。然后巧妙地利用了1的n次方根的一些性质,借之于范数的性质、多元函数的凸性和凹性得到了一系列有用的结果。 第四章主要是研究惯性定理。为了在无限维空间中研究李雅普诺夫方程,各种各样的算子惯性被定义和研究。我们在此章中引入了一种算子的惯性指数来研究惯性定理,而这些定理即使在有限维空间中也同样成立,进而我们可推出以前的一些结果。在文中最后,我们给出了一些应用。