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这篇论文主要研究J(o)rgens-Calabi-Pogorelov定理的推广,我们分别考虑以下三个问题:伪欧氏空间R2nn中Lagrangian translating solitons的刚性定理;仿射K(a)hler-Ricciflat graph的刚性定理;α-相对抛物型仿射球的刚性定理. 第一章,设f是定义在Rn上满足方程det((e2f/(e)xi(e)xj))=exp{n∑i=1-ai(e)f/(e)xi+n∑i=1bixi+c},的光滑严格凸解,其中ai,bi和c都是常数,那么,在具有不定度量∑dxidyj的伪欧氏空间R2nn中,▽f的graph M▽f={(x,▽f)}是平均曲率流的类空translating solitons.当维数n=1时,我们将上述PDE的整体解进行分类,并且证明在hessian(D2f) decay条件下的整体严格凸解(n≥2)是二次多项式.我们的结论是: 定理1.1.5.设f是方程f"=exp{-af+bx+c}定义在R1上的光滑解,其中a,b和c是常数并且ab≠0.那么,当ab>0,f(x)一定是二次多项式f(x)=b/2ax2+(c+lna/b)x+C2,或者f(x)=∫x01/a(ln(C1+a/bexp{bt+c}))dt+C2,其中C1>0和C2都是常数.当ab<0时,方程不存在定义在R1上的光滑解. 定理1.1.6.设f是上述PDE(n≥2)定义在Rn上的光滑严格凸解.如果对于(V)ε>0,当|x|→∞时Hessian(D2f)满足.(D2f)>(ζ)/|x|2I,那么f(x)一定是二次多项式. Li和Xu[9]证明了定义在Rn上满足Monge-Ampère方程det((e)2u/(e)ξi(e)ξj)=exp{-n∑i=1di(e)u/(e)ξi-d0的任一严格凸解一定是二次函数,其中d0,d1,…,dn是常数.他们推广了著名的J(o)rgens-Calabi-Pogorelov定理,当维数n≤4时,定理的证明相对简单,但当n≥5时证明就非常困难了,并且计算也相当的复杂,见[9]和[17]的第4.5节.在第二章中,本文作者首先观察到了ρ(ρ是hessian(D2f)的行列式)和内积<▽ lnρ,▽ u>之间的关系,其次我们可以直接在截口Su(0,C)上估计Hessian(D2u)的行列式,参看引理2.3.1.利用此引理,我们可以采用新的闸函数作梯度估计,并且利用更好的方法去处理内积<▽ lnρ,▽u>.因此,我们给出了一个对任意维数都相对简单的证明. 第三章,设f是定义在Rn上满足PDEdet((e)2f/(e)xi(e)xj)=(an+1-∑ai(e)f/(e)xi)n+2/α的光滑严格凸解,其中α是非零常数,(a1,…,an+1)是Rn+1中的常向量.那么graph超曲面M={(x,f(x))}是Rn+1中的α-相对抛物型仿射球.文献[22]引入了α-相对几何,并且研究了欧氏完备的α-相对抛物型仿射球.在本章中,我们进一步将欧氏完备的α-相对抛物型仿射球进行分类,并且证明当α(∈)[n+2/n+1,n+2]时,上述PDE的光滑严格凸解一定是二次多项式,此结论推广了文献[22]中的主要结论.