混沌现象在自然界中非常普遍，混沌运动是许多非线性系统的典型行为。要想控制或利用混沌，首先需要判断一个非线性系统是否存在混沌态。除了数值研究上常用的判据外，从理论角度上来看，判别混沌运动不变集存在性的解析方法——Melnikov方法具有重要地位。由于Melnikov方法可以直接进行解析运算，这样就更便于对动力系统做定性和定量分析。本文采用Melnikov方法判断特定系统出现混沌运动的阈值。通过控制外加激励项的参数实现系统从混沌态到周期态的转变，并采用了一种用数值积分计算Melnikov函数的简便方法。本文的意义在于为笔者进一步研究提高弱信号检测系统的检测精度和抗干扰能力的工作提供了理论基础。许多实际问题可以归结为讨论带有弱周期扰动项的具有同宿轨道或异宿轨道的二阶常微分方程所表示的系统。对于这类系统，利用一定的数学技巧，就可以建立二维Poincaré映射。如果一个二维Poincaré映射存在横截同宿点，那么相应的系统就具有Smale马蹄变换意义下的混沌不变集。横截同宿点是由Melnikov函数表征的。从Melnikov函数的定义可以知道，要得到Melnikov函数的解析表达式，首先需要求解出无扰Hamilton系统的同宿轨道或异宿轨道，然后再计算同宿轨道或异宿轨道的Melnikov函数的积分。计算中通常需要用到留数定理并进行复杂的积分运算。对较简单的模型可以得出解析表达式，然而对于更为复杂的模型却很难得到它的解析表达式。例如，由于非线性项含有常数使得无法求得对应无扰系统中同宿轨道或异宿轨道的解析式；而非线性项幂次较高时虽然可以求得同宿轨道或异宿轨道的解析式，却无法求得Melnikov函数的解析表达式。因此，如何得到Melnikov函数的近似解就成为我们所关心的问题，此时就不得不依靠数值计算方法了。本文采用的Melnikov函数的数值积分法的核心思想在于，时间变量是同宿轨道或异宿轨道的状态变量的函数，可以把对时间变量的Melnikov积分<WP=66>转移到对状态变量的积分，然后用计算机求解。由此可以得到可能使系统出现混沌的阈值曲线，这样就可以通过阈值曲线对系统做定性或定量的分析，从而避免了求同宿轨道（或异宿轨道）和Melnikov函数的解析表达式。只要频率选定，就可以得到唯一的可能使系统出现混沌的阈值。利用计算机求解Melnikov函数的数值积分法大大减少了人为的推导计算量。因此，该方法是一种非常简便、有效的方法，有一定的实用价值。 上面介绍的是用Melnikov方法求解混沌阈值的原理和算法。本文将应用Melnikov方法来计算改进后的Duffing方程的混沌阈值。本文先以Duffing方程为基础，给其外加一个常数项激励，得到了相应的异宿轨道的Melnikov函数阈值。讨论了和正弦激励的角频率的不同取值对混沌阈值的影响。然后又根据Duffing方程构造了一类非线性系统，把非线性项的幂次提高到五次方。分三种情况对它进行了研究。1. 用同（异）宿轨道的Melnikov函数的数值积分法得到了使该系统产生混沌的阈值曲线。然后用数值仿真实验进行了验证：同宿轨道的Melnikov函数得到的混沌阈值与数值仿真结果是一致的。2. 在其它参数（阻尼系数、激励信号的幅值和角频率）固定不变的情况下，对处于混沌态的系统外加一个控制项，分析并得到了要想使系统不处于混沌态，控制参数幅度和相位需满足的关系。在取的情况下，用数值仿真验证了混沌确实在的相应变化范围内被抑制。3. 随后，本文对外加周期策动力进行了推广，用周期延拓后的Ricker子波取代了外加正弦信号激励项，求出了它的Fourier级数。用Melnikov函数的数值积分法求出了Ricker子波激励的混沌检测系统的混沌阈值。得出结论：要想使该系统出现混沌态，Ricker子波的频率不能太高。随频率的增加明显增加，随阻尼系数的增加幅值也增加。通过对Ricker子波激励的混沌检测系统的分析可得出：只要外加激励能展开成收敛的Fourier级数的形式，Melnikov方法就仍然适用。对上述三种情况，我们都用Melnikov函数的数值积分法得到了混沌阈值，<WP=67>并用数值仿真实验进行了验证。得到以下结论：1. 同（异）宿轨道的Melnikov方法可以判断系统进入混沌的阈值，而不能用于估计混沌到大尺度周期态的阈值。2. 用同（异）宿轨道的Melnikov方法处理的结果，只能证明存在具有混沌属性的不变集，从而说明系统可能有奇怪吸引子，而不能判定系统一定存在奇怪吸引子，因为Smale马蹄意义下的混沌并非真正物理意义下的混沌。给定角频率，如果比阈值小，则不出现混沌；如果比阈值大，则系统或者出现暂态混沌或者发散。如果系统能够出现暂态混沌，那么用Melnikov方法求出的从周期态到混沌态的阈值与数值仿真结果是一致的。也就是说，Melnikov方法能够判断出一个具有周期外力的非线性系统可能出现混沌的阈值。