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不等式在分析学中有着重要的应用，因而得到大量的研究。本文主要研究了Hilbert积分不等式和两类解析函数类的Fekete—Szego不等式。在第二章中，通过引入多个参数和β函数，得到一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert积分不等式。同时也考虑了它的等价形式和一些特殊结果。在第三章中，我们定义了两个解析函数类Mα(φ)(α>1)和Mλ(g，h，u，υ，φ)(0≤λ≤1)，并且得到了它们精确的Fekete—Szego不等式。作为Fekete—Szego不等式的应用，我们也得到了通过分式微分定义的函数类的Fekete—Szego不等式。