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本文主要研究完备非紧流形上完全非线性椭圆方程整体解的存在性。不同于线性理论,广义导数或者Sobolev空间不再是完全非线性方程的合适框架,得益于M.G.Crandall和P. L. Lions的粘性解的概念[9],完全非线性椭圆方程理论得以迅速发展。粗略的划分,完全非线性椭圆方程粘性解存在性方法可以粗略的分为两大类：第一类是以M. G. Crandall, P. L. Lions和H. Ishii为代表的Perron方法。在这种方法中,存在性的证明主要依赖粘性解的比较定理。按照这种思路,他们在[9],[22]中解决了Hamilton-Jacobi方程解存在唯一性,在[21][23]中解决了二阶椭圆解存在唯一性和在[10][20]中解决了抛物方程解存在唯一性。第二类是以Luis A. Caffarelli, L. C. Evans和Xavier Cabre为代表的连续性方法。这种方法主要是对完全非线性方程的解做先验估计,再由Laplace方程解的存在性和正则性以及Leray-Schauder定理得到完全非线性方程解的存在性。他们的方法主要体现在Xavier Cabre在[14]和[13]中完全非线性方程极值原理的研究,L.C.Evans在[15]对凸方程正则性的研究和Luis A. Caffarelli在[16],[17]对椭圆方程正则性研究。Daniel Azagra, Juan Ferrera和Beatriz Sanz [4]以及Shige Peng和Detang Zhou [24]将完全非线性椭圆方程粘性解推广到Riemann流形,在方程具有函数项强制性条件时,得到流形紧子区域上的比较定理。欧氏空间上不具备有界的调和函数,然而对完备非紧的Riemann流形而言,有界的调和函数是存在的。借助于比较定理,可以赋予负曲率完备非紧Riemann流形无穷远边界。以此边界为出发点,人们研究了完备非紧流形上的渐近Dirichle问题。Hyeong In. Choi在[6]中假设流形具有渐近边界凸性,然后构造出闸函数,从而得出解的存在性。按照这种方法,M. T. Anderson [1]和D. Sullivan [25]分别证明了这种凸性,从而得到了整体解的存在性。而后M. T. Anderson和Richard Schoen [2]直接根据流形的性质构造出闸函数,完全解决了Laplace方程的Dirichlet问题。对应于Laplace算子,最为典型的非线性椭圆算子是Pucci算子。由于Pucci算子不具备关于函数项强制性条件,寻找适用于Pucci算子的比较原理成为研究一大类完全非线性椭圆算子的关键。通过构造流形上的辅助函数,我们给出了非强制条件下比较定理的证明,克服了方程不具备强制性条件的困难。再由Perron方法得到解的存在性和唯一性。论文的基本内容如下：在第一章中,简要介绍了Rn上的完全非线性方程,和回顾Cartan-Hadamard流形上Laplace方程渐近Dirichlet问题。在结尾比较详细的介绍了关于黎曼流形上粘性解的最新进展。第二章详细的提出了我们所关心的完全非线性方程。主要包括：方程所在的底流形,方程所需要满足的结构条件。其中最主要的是单调条件条件和关于梯度项的增长条件。在第三章中,主要是引入截面曲率有严格负的上界和下界,并且完备非紧的Cartan-Hadamard流形上的一个辅助函数这个函数具有重要地位。它在整个流形上具有凸性,拉普拉斯算子作用下有正的下界,并且梯度有界。在欧氏空间中不存在同时具备这三个性质的函数。第四章内容是主要定理的证明。首先,我们证明了关于渐近Dirichlet问题的比较定理。然后,利用比较定理和Perron方法,得到了粘性解的存在性和唯一性。在第五章中,我们主要研究的一个重要的完全非线性方程—-Pucci方程。通过找到粘性下解和粘性上解,我们得到的渐近Dirichlet问题解的存在性和唯一性。而且得到了完备非紧黎曼流形上的一个非平凡的正解。