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1962年,Smale给出了第二Stiefel-Whitney示性类为零的单连通闭5-流形在微分同胚下的分类定理[Smale,1962]:每个这类流形都可以唯一分解成若干素流形M<,q>
(q∈Z+)的连通和,所以研究素流形M<,q><5>的具体构造有助于我们理解这类流形的拓扑结构.该文从如下3个角度描写M<,q><5>:1.对S<5>沿一个环绕数为q的2分支链环做手术得到.2.作为一类六流形W<,q><6>的边缘,其中W<,q><6>是在D<6>的边缘上粘贴两个环柄D<3>×D<3>得到.3.M<,q><5>的Heggard分解,即由两个S<2>×D<3>＃<,b>S<2>×D<3>沿表面粘合得到.最后,我们还给出了Smale分类定理的几何含义,并且介绍了D.Barden关于单连通闭5-流形的Barden分类定理[Barden,1965].