【摘 要】
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双曲几何与复动力系统、双曲流形等领域联系密切,是复分析领域的一个重要研究领域.实双曲几何、复双曲几何、四元数双曲几何是双曲几何的推广.本文主要研究四元数双曲理想三
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双曲几何与复动力系统、双曲流形等领域联系密切,是复分析领域的一个重要研究领域.实双曲几何、复双曲几何、四元数双曲几何是双曲几何的推广.本文主要研究四元数双曲理想三角群的离散性.通过对HC2上的三角群的概念进行推广,定义四元数双曲三角群,讨论其性质.四元数双曲理想三角群是指三个顶点都落在（?）HH2上的一种特殊三角群.在三角群的研究中,我们给出三条四元数线分别对应的三个极向量,并定义角度参数,得到（p1,p2,p3）三角群与其角度不变量的关系.我们运用狄利克雷多面体的性质,构造群上的基本域,研究HH2上理想三角群的离散性.在此过程中,发现HC2上理想三角群离散的必要条件的另一种证明方法.文章结构如下：第一章主要介绍研究课题的背景知识和研究意义,以及文章的主要工作.第二章给出一些预备知识,包括四元数线、四元数反射和角度不变量等概念.第三章主要运用四元数线上的极向量,讨论HH2中两条四元数线的位置关系.第四章主要介绍狄利克雷多面体的4个性质,为证明HH2中理想三角群是离散的充分条件作准备.第五章主要运用g∈PU（2,1）的元素类型代数判别式,证明HC2上理想三角群离散的必要条件.第六章的主要关注点是HH2上的三角群.我们得到一个三角群极向量角度不变量的取值范围.进一步地,我们介绍HH2中理想三角群离散性随着Cartan角度变化的情况.
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