在土木工程、材料科学、航天结构分析以及电气工程等诸多应用领域中有许多关键问题都可以用动力学模型来描述.通过空间方向的离散,这些模型都可转化为线性或非线性二阶常微分方程组.本文的目的就是针对这些方程组（简称为动力学方程）开展高效数值算法的设计、理论分析与数值模拟等研究工作.因此,该研究具有重要的理论意义与应用价值.首先,借鉴文献[1,2]中求解二阶线性发展方程的自适应时间递进方法的构造思想,对非线性项使用三种（局部）线性化方法或（局部）二次多项式近似,获得了求解线性和非线性动力学问题的自适应C⁰P₁时间递进方法和自适应C⁰P₂时间递进方法.在求解线性方程时,利用数值解满足的约束方程以及Lagrange或Hermite插值理论,获得了C⁰P₁时间递进方法和C⁰P₂时间递进方法的后验误差估计,有关推导和文献[1,2]中相应结果的推导相比,大为简化.使用系列算例验证了所得后验误差的可靠性和效率,以及自适应C⁰P₁/C⁰P₂时间递进方法的有效性.其次,为改进自适应C⁰P₂时间递进方法存在需要网格过分细化的缺点,提出了hp杂交型自适应时间递进方法（算法6）高效求解动力学方程（1.1）.该方法的算法思想非常朴素,就是在精确解变化平缓的地方使用自适应有限元方法执行计算,而当精确解变化激烈时使用谱Picard迭代方法执行计算.为了进一步提高算法的计算效率,还借鉴文献[41]中p-自适应谱亏损校正（SDC）方法调整校正次数的思想,给出了一个调整Picard迭代次数的自适应策略.该方法具有计算工作量小,逼近精度高的优点,特别在捕捉剧烈变化解时非常有效.在理论方面,通过细致的估计,获得了由Tang等人^[3,4]提出的谱Picard迭代方法的hp型收敛性分析和误差分析,严格说明初值的误差、方法的迭代次数和谱配点法多项式的选取阶数对近似解逼近误差的影响,从中可以明确看出,若初值精确给定时,该方法的确是一个显式高精度求解算法.这个工作的原创性强,应用价值大.另外,基于一阶方程SDC方法的构造思想,将二阶微分方程等价转换为Picard积分校正方程,然后再数值求解校正方程并校正初始逼近解,提出了求解无阻尼振动问题的直接谱亏损校正（d-SDC）方法.相较于一般的SDC方法,d-SDC方法的优势在于,一方面避免了问题求解规模的扩大,另一方面在相同的校正次数下能得到精度高得多的数值解.在理论方面,借助配点方法的误差估计结果,通过细致理论分析,给出了d-SDC方法的收敛性分析与误差分析,证明了该方法在迭代计算过程中数值解的误差衰减很快,是一个高精度算法.最后,利用本文提供的数值方法研究了四个实际工程应用问题的高效求解,这些问题包括sine-Gordon方程孤立子的碰撞、车桥耦合振动、van der Pol振荡器的演化以及半平面弹性波传播等问题.对于每个应用问题,都给出从建模到空间方向有限元离散化,再到动力学方程求解及其数值模拟等步骤,获得了问题科学计算的完整过程.