【摘 要】
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本论文研究有限群的数量性质与群结构的关系,主要研究了两方面的问题:一是有限群的不可约特征标的平均余维数对有限群结构的影响,讨论了不可约特征标的平均余维数与群的可解性、超可解性、幂零性之间的关系;二是研究单群的素图不连通性质对单群的唯一决定性,对散在单群、K3-单群、交错群讨论它们在素图不连通时能否由其阶唯一决定问题.全文共分为六章.第1章介绍本文的研究背景和主要结果.第2章介绍本文需要用到的一些重
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本论文研究有限群的数量性质与群结构的关系,主要研究了两方面的问题:一是有限群的不可约特征标的平均余维数对有限群结构的影响,讨论了不可约特征标的平均余维数与群的可解性、超可解性、幂零性之间的关系;二是研究单群的素图不连通性质对单群的唯一决定性,对散在单群、K3-单群、交错群讨论它们在素图不连通时能否由其阶唯一决定问题.全文共分为六章.第1章介绍本文的研究背景和主要结果.第2章介绍本文需要用到的一些重要引理.第3章我们定义了有限群G的不可约特征标的平均余维数（?）我们研究了如下问题:问题:能否找到最大正整数m,使得所有满足acod（G）＜m的有限群分别是可解的、超可解的和幂零的?即能否确定如此性质m的最大值?我们回答了上述问题,并完美给出了使得有限群G可解、超可解、幂零的m的最大值,即用不可约特征标的平均余维数得到了与Isaacs等群论专家用不可约特征标的平均维数所描述的平行结果,具体结论如下:（1）设G为有限群.若G非可解,则acod（G）≥68/5,并且等号成立当且仅当G=A5.（2）设G为有限群.若G非超可解,则acod（G）≥11/4,并且等号成立当且仅当G（?）A4.（3）设G为奇阶有限群.若acod（G）＜21/5,则G幂零.特别地,当G非幂零且acod（G）=21/5时,G是21阶Frobenius群.此外,还得到了一个一般性的结论,（4）设G为有限群,p为|G|的最小素因子.则acod（G）＜p当且仅当G为初等交换p-群.第4章和第5章我们研究如下问题:问题.设G和S是两个素图不连通的有限群.如果|G|=|S|,且S是一个非交换单群,是否有G（?）S?此问题的来源、理论价值和应用价值在于:在单群的不少数量刻画中,对于素图不连通的单群,其证明过程往往归结为一个素图不连通的有限群与一个阶相同的素图不连通的单群进行比较,甚至在某些情况,直接从假设条件就能够知道是比较这样的两个群.因此,如果上述问题对于某些素图不连通的单群成立,那么对应的数量刻画依此结果即不用证明,也即对上述问题成立的单群,可统一推广其它数量刻画.在本文中,我们实现了对散在单群和素图不连通的交错群的四种形式的统一推广,结论如下:（1）设G是有限群,S是散在单群.若|G|=|S|且G素图不连通,则G（?）S.（2）设G为有限群,S是素图不连通的交错群.则G（?）S当且仅当|G|=|S|且G的素图不连通.综合（1）和（2）,我们得到如下推论:推论1设G是一个有限群,S是散在单群或者素图不连通的交错群.则G（?）S 当且仅当 |G|=|S| 且 πe（G）=πe（S）.推论2设G是有限群,S是散在单群或者素图不连通的交错群.则G（?）S 当且仅当 Z（G）=1 且 N（G）=N（S）.推论3设G是有限群,S是散在单群或者素图不连通的交错群.则G（?）S当且仅当G和S具有相同的阶分量.推论4设G是有限群,S是散在单群或者素图不连通的交错群.则G（?）S当且仅当|G|=|S|且G和S的极大交换子群阶的集合相等.对于K3-单群,我们无法得到类似于散在单群和交错单群的刻画,但是我们给出这一类群的完全分类,即有如下结论.（3）设G是具有不连通素图的有限群,S为任意K3-单群.如果|G|=|S|,那么下列几条成立:a.若S（?）L2（7）且S（?）U4（2）,则 G（?）S.b.若S（?）L2（7）,则G同构于下列群之一:L2（7）,C2（?）（C3（?）（C2 × C2 × C7））或 C3（?）（C7（?）（C2 ×C2 × C2））.c.若S=U4（2）,则 G 同构于 U4（2）或 C4（?）（C5（?）D）,其中D=（C2 × C2 × C2 × C2）×（C3 × C3 × C3 × C3）.第6章在本章,我们目的是利用有限群的“不可约特征标的平均余维数”及“素图不连通”两个条件来刻画有限单群,由于没有阶的限制,此问题变得困难,我们证明了如下结论:设群 G 的素图不连通,acod（G）=68/5,k（G）=5.则 G（?）A5.
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