【摘 要】
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设p为奇素数,b,t,r∈N。1992年,马少麟猜想丢番图方程x4=22b+2p2t-2b+2pt+r+1有唯一的正整数解(x,b,p,t,r)=(49,3,5,1,2),并且证明了这个猜想蕴含McFarland关于除子为-1的Abe
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设p为奇素数,b,t,r∈N。1992年,马少麟猜想丢番图方程x4=22b+2p2t-2b+2pt+r+1有唯一的正整数解(x,b,p,t,r)=(49,3,5,1,2),并且证明了这个猜想蕴含McFarland关于除子为-1的Abel差集的猜想。马少麟证明了若t≥r,丢番图方程x2=22b+2p2t-2b+2pt+r+1没有正整数解。本文证明了若a>1为奇数b,t,r∈N且t>r,则丢番图方程x2=22b+2a2t-2b+2at+r+1的正整数解由t=r=1 和(?)给出,其中n∈N为奇数。作者也证明了若p为奇素数且b,t,r∈N且t>r,则丢番图方程x4=22b+2p2t-2b+2pt+r+1有唯一的正整数解(x,b,p,t,r)=(7,3,5,1,2)。同时,本文也利用初等方法,主要是因式分解,同余法并结合Catalan猜想的基本结论,得到了丢番图方程px+py=zn和丢番图方程ax+ay=zn的全部非负整数解,并且px+py=Zn的解与麦什涅素数对应。
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