【摘 要】
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本文主要研究有限元方法求解超弹性方程与弱有限元方法求解线弹性方程的问题.在材料的本构关系上,本文考虑正交各向异性的情况.在三维状态下,本文将本构简化为横观各向同性,即材料在x-y平面内表现为各向同性,z方向上表现为各向异性.对于超弹性问题,本文的应力应变选用基于完全Lagrange格式的第二Piola-Kirchoff应力和Green-Lagrange应变,然后对超弹性能量泛函采用三场变分原理,即
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本文主要研究有限元方法求解超弹性方程与弱有限元方法求解线弹性方程的问题.在材料的本构关系上,本文考虑正交各向异性的情况.在三维状态下,本文将本构简化为横观各向同性,即材料在x-y平面内表现为各向同性,z方向上表现为各向异性.对于超弹性问题,本文的应力应变选用基于完全Lagrange格式的第二Piola-Kirchoff应力和Green-Lagrange应变,然后对超弹性能量泛函采用三场变分原理,即对位移、静水压力和变形前后的体积比分别进行变分,此方法在处理接近不可压缩弹性体时将弹性体的体积变形和畸变变形分开处理,相较于传统变分方法,求解结果更准确.由于三场变分原理得到的变分方程是非线性的,所以需要使用Newton-Raphson方法增量-迭代求解变分方程组.对于线弹性问题,本文采用弱有限元方法,对剖分单元采用一致三角剖分,证明了弱有限元方法数值格式解的存在唯一性,并且对数值格式进行了H~1和L~2范数下的误差分析.对于超弹性问题和线弹性问题,本文均通过数值算例验证了求解方法的有效性和分析的正确性.
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