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关于Markov过程理论的研究,历来有概率方法和分析方法。近年来,用分析的方法来研究Markov过程,数学家们已取得一系列成果。本文着力于使用分析的方法,以算子半群理论为工具,先系统的研究了广义分支矩阵Q及其转移函数F(t)的性质,尤其是广义分支矩阵Q在l∞上的性质。进一步证明了广义分支矩阵Q的导出算子Ql∞在l∞空间上生成Q—积分半群和导出算子—Qol1在l1空间上生成正压缩半群,并研究了相应的Q—积分半群和正压缩半群的一些性质。
广义分支过程是一类重要的时间连续Markov链,状态空间E=Z+={0,1,2,...},其q—矩阵Q=(qij;i,J∈E)定义为:
为了系统的了解广义分支过程,本文在第二章给出了矩阵Q及其最小Q—函数F(t)的一些基本性质,定理2.1.1给出了矩阵Q的次随机单调性、正则性及零流出,而定理2.1.2则给出了最小Q—函数.F(t)唯一且忠实性,对偶性。结果如下:
定理2.1.1如果广义分支q—矩阵Q满足下列条件之一
(ⅰ)θ>1,.Bˊ(1)≤0
(ⅱ)θ≤1, Bˊ(1)<+∞
(ⅲ)θ≤1,B′(1)=+∞∫1ε(1—s)θ-1/—B(s)dx=+∞这里q是方程B(s)=0的一个根,且0<q<1,ε∈(q,1).那么
(1)广义分支q—矩阵Q是次随机单调的;
(2)广义分支q—矩阵Q是正则的;
(3)广义分支q—矩阵Q是零流出的;
(4)广义分支q—矩阵Q是非对偶的。
广义分支矩阵的最小Q—函数F(t)具有如下性质:
定理2.1.2如果广义分支q—矩阵Q满足下列条件之一
(ⅰ)θ>1, B′(1)≤0
(ⅱ)θ≤1, B′(1)<+∞
(ⅲ)θ≤1,B′(1)=+∞.∫1ε(1—s)θ-1/—B(s)dx=+∞这里q是方程B(s)=0的一个根,且0<q<1,ε∈(q,1).设广义分支q—矩阵Q的最小Q—函数为F(t).
那么
(1)F(t)是唯一且忠实的;
(2)F(t)是非随机单调的;
(3)F(t)是对偶的。
在第三章中,我们分别给出了广义分支矩阵Q的导出算子Ql∞,—Qol1与Qc0在l∞,l1,c0空间上的一些性质,定理3.1.1给出了λI—Ql∞在l∞单射与满射成立的条件及Ql∞的耗散性与闭性满足的条件,定理3.1.2得到了λI——Qol1在l1单射与满射成立的条件及—Qol1的耗散性满足的条件,定理3,1.3我们则验证了Qc0在c0上耗散性与能闭性。结果如下:
定理3.1.1当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,
(1)对(A)λ>0,λI—Ql∞在l∞空间上是单射;
(2)对(A)λ>0,λI—Ql∞在l∞空间上是满射;
(3)Ql∞是耗散算子;
(4)Ql∞是闭算子。
定理3.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,
(1)Qol1在l1空间上是稠定线性算子;
(2)Qol1是耗散算子,Qol1是能闭算子,—Qol1是耗散算子;
(3)对(A)λ>0,λI——Qol1在l1空间上是单射;
(4)对()λ>0,λI——Qol1在l1空间上是满射.
定理3.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,
(1)Oc0在c0空间上是稠定线性算子;
(2)Qc0是耗散算子;
(3)Qc0在c0空间上是能闭的线性算子;
(4)对()λ>0,λI—Qc0在c0空间上是单射.
在[5]中Y.R.Li着重讨论了转移函数在l∞上的性质,得到了一般的无界q—矩阵Q在l∞上生成一次正压缩积分半群。第四章中我们在Y.R.Li[5]的基础上对广义分支矩阵Q做了一些限制,首先得到了Q导出的算子Ql∞在l∞空间上生成一次正压缩积分半群的充要条件及生成积分Q—半群的条件。进一步的我们研究了Q导出的算子—Qol1在l1空间上生成正压缩半群的条件。我们得到如下结果:
定理4.1.1广义分支矩阵Ql∞在空间l∞上生成一正的压缩积分半群T(t)=(Tij(t);i,j∈Z+)的充要条件是定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立.此时(Tˊij(t))=P(t)=(pij(t)).
定理4.1.2当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,Ql∞在空间l∞上生成的压缩积分半群T(t)是积分Q—半群。
定理4.1.3当定理2.1.1中三个条件中的任何一个成立时,—Qol1在l1空间上生成正压缩半群S(t)=(Sij(t);i,j∈E)且X(t)=F(t).
第五章中我们在第四章基础上,进一步得出了广义分支矩阵Ql∞在空间l∞上生成一正的压缩积分半群的次随机单凋性和Feller性。结果如下.
定理5.1.1广义分支矩阵生成的积分半群T(t)是次随机单调的.
定理5.1.2如果T(t)是广义分支q—矩阵生成的正压缩积分半群,那么(Tˊij(t))=P(y)是Feller的,T(t)是Feller的,即,对于j∈Z+,t>0,有limi→∞Tij(t)=0.