【摘 要】
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椭圆型偏微分方程在数学物理、力学、土木工程等许多领域都有广泛的应用,例如在弹性力学、电磁学、建筑结构、航天航空结构等问题中,都可以用椭圆型偏微分方程构建数学模型.但是偏微分方程的精确解只有极少数情况下可以得到,故而采用比较流行的数值方法来探索偏微分方程的数值解.传统的数值解法例如有限元法、有限差分法等网格方法费时费力,特别是对于复杂的三维几何结构,所以在过去的二十年中,无网格方法高速发展,有着广泛
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椭圆型偏微分方程在数学物理、力学、土木工程等许多领域都有广泛的应用,例如在弹性力学、电磁学、建筑结构、航天航空结构等问题中,都可以用椭圆型偏微分方程构建数学模型.但是偏微分方程的精确解只有极少数情况下可以得到,故而采用比较流行的数值方法来探索偏微分方程的数值解.传统的数值解法例如有限元法、有限差分法等网格方法费时费力,特别是对于复杂的三维几何结构,所以在过去的二十年中,无网格方法高速发展,有着广泛的应用,例如能够处理复杂的域、能够避免三角化和重新划分网格等,有效地解决了许多偏微分方程问题.其中,特解法是一种有效的RBF配置无网格方法,利用给定的RBF的特解作为基函数去近似数值解,但是解的精度和稳定性取决于RBF形状参数的选择,所以为了提高解的精度和稳定性,采用多项式基函数代替径向基函数的特解法―多项式特解法,本文采用这种方法研究一类高阶椭圆型偏微分方程问题不仅在可行性和计算成本上有优势,而且在求解精度上也有优势.本文的结构如下:第一章,首先简述了求解椭圆型偏微分方程的研究背景,然后详述了无网格方法的发展历程和几种常见的求解偏微分方程的数值解法.第二章,先给出了径向基函数等相关概念,然后介绍了特解法、多项式特解法和多尺度技巧等相关理论,最后总结了本文的主要研究工作.第三章,研究了高阶椭圆型偏微分方程奇异摄动非局部边值问题和一类与时间t相关的抛物型偏微分方程,为了检验算法的有效性,对不同阶数和不同参数的数值算例进行求解和分析,借此研究用特解法求解高阶椭圆型偏微分方程的问题.得到精确度较高、较稳定的数值结果,说明此方法具有精度高、收敛性好、易于实现等特点.第四章,首先介绍高阶椭圆型偏微分方程特征值问题的研究现状,其次为了证明算法的有效性,把特解法应用于不同阶数和不同参数的数值实验中,并对可能影响计算精度的配置点的数量和计算域进行精度阶测试,实验数值模拟结果比较理想,证明多项式特解法具有高收敛性和高精度等优点.第五章,首先对本文的主要研究工作进行了全面的总结,其次对后续工作做了进一步的工作安排和展望.
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