本文的研究工作主要分为以下两部分:第一部分研究求解Poisson-Nernst-Planck方程的两层网格法;第二部分研究一些线性和非线性模型问题在自适应有限元网格上的平均型高精度逼近。　　Poisson-Nernst-Planck方程由Nernst-Planck方程和Poisson方程组成,描述的是溶剂分子系统的离子电扩散反应。这是一类非线性耦合偏微分方程组,其有限元计算的主要难点之一是求解耦合方程组的迭代方法的收敛性不佳。为此,我们提出了求解Poisson-Nernst-Planck方程的两层网格法。该方法可将方程组解耦,从而大大减少计算工作量,提高计算效率。我们还给出了Poisson-Nernst-Planck方程的两层网格法的若干误差分析。　　平均技巧对于数值处理偏微分方程的自适应有限元方法是一个普遍的技巧,它能通过一个简单的后处理提供有效的后验误差估计。我们在自适应网格上利用平均技巧设计了若干梯度的逼近。大量的数值例子证明平均技巧所产生的逼近比有限元解的逼近精度更高。这些数值例子不仅涉及光滑系数问题和间断系数的问题,也包含了线性问题和非线性问题。