【摘 要】
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多重zeta函数又称Euler-Zagier和,因其在量子力学、扭结理论、上同调理论等不同学科分支上的应用,而得到了国内外学者的密切关注和重视.通过众多学者的深入研究,得到了一系列
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多重zeta函数又称Euler-Zagier和,因其在量子力学、扭结理论、上同调理论等不同学科分支上的应用,而得到了国内外学者的密切关注和重视.通过众多学者的深入研究,得到了一系列重要的研究成果.在对多重zeta函数研究的过程中,用到了Bernoulli数、harmonic shuffle关系、对称函数以及其它一些数学知识.这里我们介绍一下Bernoulli数.Bernoulli数是Jacob Bernoulli在研究形如1κ+2κ+3κ+…+(n-1)κ的和式时引入的.事实上,Bernoulli数是Bernoulli多项式当x=0时的特殊情况.Bernoulli数和Bernoulli多项式有许多重要性质,是人们研究其它问题的有力工具.之后,又有学者提出了广义Bernoulli数、广义Bernoulli多项式的定义.有关这方面的研究和应用,是数论研究的重点之一.基于上述背景,本文主要研究如下几方面的问题：1.利用Bernoulli数以及harmonic shuffle关系研究多重zeta函数的加权均值,主要研究形如∑f(m,n)ζ((2m,2n-2m)的和式,这里f(m,n)为关于整数m,n的函数.2.利用初等方法研究Bernoulli数、Euler数以及广义n阶Bernoulli数、广义n阶Euler数,对某些已有结论进行了推广,除此之外还得出了若干新的关系式.
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