椭圆型方程Cauchy （?）司题应用在地球物理、医学、遥感技术、无损探伤等众多领域,经常被用来刻画声波或弹性波的辐射和散射,以及建筑物的振动等现象,是典型的偏微分方程.在Hadamard的意义下,椭圆型方程的Cauchy问题是不适定的.虽然Cauchy问题解的唯一性可以保证,然而Cauchy问题是不稳定的,即测量的Cauchy数据带有微小的扰动,就会引起反演结果的巨大偏差.因而对Cauchy （?）司题的研究,特别是提出有效的、稳定的、快速的数值计算方法是很重要的.本论文主要研究了Helmholtz型方程和Cauchy-Navier方程Cauchy （?）司题,以及利用Cauchy数据进行边界重构,并针对相应的数学模型提出了稳定的数值计算方法.在下面的讨论中,ε可能有不同的数值,仅代表很小的正数.论文分为三部分.第一部分是论文的第一章.在这一部分里面,首先介绍了Helmholtz方程和Cauchy-Navier方程的物理背景,之后对Cauchy （?）问题的研究现状做简短的叙述.第二部分是论文的第二章和第三章.在第二章,我们提出了求解Helmholtz型方程Cauchy （?）司题的位势函数法,第三章我们把位势方法推广到Cauchy-Navier方程Cauchy问题.第二章研究了Helmholtz型方程Cauchy问题,提出了带有正则化技巧的位势函数方法,证明了位势函数的稠密性,问题的不适定性,给出了方法的收敛性,数值试验说明方法是稳定的.设D是Rd（d=2,3）中的有界区域,其边界（?）D充分光滑,一般为C2类.r是（?）D上的非空子集,∑=（?）D\r,假设r是连续的,本节考虑如下的Cauchy （?）司题：给定fD∈H1（Γ）,fN∈L2（r）.求解μ满足：其中波数k≥0,n表示边界r上的单位外法向量.定理1假设μ∈H3/2（D）满足方程（1）.B,D是有界连通区域,满足D（?）B使得B\D是连通的,并且（?）D∈C2,那么对于任意的ε>0,存在密度函数φ∈L2（（?）B）,使满足并且在边界上有定义算子N：L2（（?）B）→L2（r）×L2（r）如下那么,算子N有下面的性质.定理2算子N：L2（（?）B）→L2（r）×L2（r）单射并且紧.我们得到算子方程由于问题是不适定的,我们需要考虑扰动方程,也就是测量数据fδ∈L2（Γ）×L2（r）满足其中因此,我们有为了保证解的唯一性,我们求解问题的最小范数解,也就是积分方程（2）的最小范数解就是方程的解,通过求解G（α）：=||Nφ-∫||2-（δ+E）2的零点确定正则化参数α,数值试验中我们通过牛顿迭代法得到正则化参数.通过引入积分算子我们可以求得方程（2）的正则化解φαδ=Rαfδ,并且给出误差估计如下：定理3设ε是足够小的正的常数并且设正则化解φαδ（δ）对于δ∈（0,δ0）满足并且对于||z||2（Γ）×L2（Γ）≤E有φ=N*z∈N*（L2（Γ）×L2（Γ））.那么这里φ∈L2（（？）B）是满足定理1的某个单层位势函数υφ的密度函数.定义下面形式的单层位势υφαδ（δ）：我们给出误差估计如下：定理4定理3中的假设成立.那么此外,在边界∑上,下面的误差等式成立其中常数C1和C2依赖于K,D,B和E.通常在计算时,我们需要计算下面的等式其中PN是由L2（（？）B）到VN的投影算子,VN是L2（（?）B）的有限维子空间,满足UN∞=1VN=L2（（?）B）.由于N*N是紧算子,我们可以知道所以我们可以取N足够大使得下面我们给出数值计算误差.定理5数值解φN,αδ。与解φαδ满足误差估计如下：定理6定理3中的假设成立.那么此外,在边界∑上,下面的误差等式成立常数C1和C2依赖于k,D,B和E.我们总结本节的数值算法的计算步骤如下：对于给定的ε,δ通过求解的零点确定正则化参数α,进一步通过求解（3）得到满足条件的N,然后得到需要的密度函数φN,αδ最后求得未知边界的函数值和法向导数值.在最后我们给出了二维空间中的数值算例,数值算例表明算法有效而且稳定.第三章把位势函数方法推广到Cauchy-Navier方程Cauchy问题,提出了带有正则化技巧的位势函数方法,证明了弹性单层位势函数的稠密性,问题的不适定性,给出了方法的收敛性,数值试验说明方法是稳定的.在这一部分我们规定ω>0时d=2；ω=0时d=3.考虑各向同性介质充满有界区域D∈Rd（d=2,3）,并且边界OD是光滑的.设r是边界（?）D的一部分,并且r是连续的,∑=（?）D\Γ.考虑如下的Cauchy （?）司题：给定r上的Cauchy数据f和t,求解u满足其中△*u=μ∧u+（λ+μ）（?）（?）.u,n是OD的单位外法向量,定义弹性位势函数其中D（?）B.我们首先给出以上形式的位势函数在解空间中的稠密性.定理7设u∈H3/2（D）满足Navier方程（4）.B,D是有界的连通区域,满足D（?）B,（?）D∈C2,并且使得B\D是连通的,那么对于每一个ε>0,存在密度函数φ∈L2（（?）B）,使得sφ（x）满足并且定义迹算子N：L2（（?）B）1L2（r）×L2（r）如下下面这个定理说明了问题的不适定性.定理8算子N：L2（（?）B）1L2（r）×L2（r）是单射并且紧的.到这里我们可以把问题写为：寻找φ∈L2（（?）B）,使得那么sφ（x）|D就是我们寻找的u在D上的近似.很容易可以看出（5）是一个积分方程组.由问题的不适定性,我们需要考虑测量数据hδ∈L2（Γ）×L2（r）满足其中,noise是噪声水平.因此,我们有||Nφ-hδ||（Γ）×L2（Γ）≤δ+ε,为了保证解的唯一性,我们求解问题的最小范数解.积分方程（5）的最小范数解就是解方程通过求解G（α）：=||Nφ-h||2-（δ+ε）2的零点确定正则化参数α,数值算法中我们通过牛顿迭代法得到正则化参数.通过引入积分算子Rα：=（αI+N*N）1N*,α>0,我们可以求得方程的正则化解φαδ=Rαhδ.定理9设ε是足够小的正的常数正则化解φα（δ）δ对于所有的δ∈（0,δ0）满足并且对于有成立.那么其中φ∈L2（（?）B）是某个单层位势的密度函数.定义单层位势函数Sφαδ（δ）有如下的形式那么我们得到下面的结论.定理10假设定理9中的条件成立成立.那么此外,在边界∑上,下面的误差等式成立正数C1,C2依赖于λ,μ,D,B和E.在最后我们给出了数值算例,数值算例表明算法有效而且稳定.论文的第三部分是第四章,在这一章前半部分我们给出了确定二维弹性边界的位势方法,后半部分我们利用基本解方法对弹性平衡方程Cauchy司题、边界反演和弹性体内杂质确定三个问题进行研究.1.确定二维弹性边界的位势方法考虑各向同性介质弹性体占满有界区域D∈R2,r是边界OD的一部分.设r是连续的.考虑如下的问题：给定r上的Cauchy数据f和t,μ>0,λ+2μ>0,求解u满足其中n是边界（?）D的单位外法方向,并且Tn=2μn.（?）+λndiv+μn×V×.这里我们假设r是上半平面{（x1,x2）|x2>0}的一条光滑曲线,两个端点位于x2=0上,s（z）≠（?）是下半平面{（x1,x2）|x2<0}的一条光滑曲线,两个端点也在x2=0上.这里并不需要Γ（?）s（x）=OD,意思是说Γ（?）s（x）=OD或者s（x）c OD/r.如果s（x）（?）（?）D/r,我们假设s（x）和r的端点通过两条线段连接.考虑的问题是给定f0,通过r上的Cauchy数据f和t确定s（x）,满足定义迹算子N：L2（（?）B）→L2（r）×L2（r）如下那么关于N有下面的定理.定理11算子N：L2（（?）EB）→L2（r）×L2（r）单射并且紧.问题为：求解φ∈L2（（?）B）,使得Nφ=h,h=（f,t）.那么Sφ（x）|D就是我们寻找的u在D上的近似,最后利用最小二乘法得到s（x）的近似.我们知道,φ得到近似以后,那么就得到了u的近似Sφ.我们的目标是就是利用Tikhonov正则化算法得到φ的数值近似φα*δ：最后我们通过最小二乘算法得到s（x）的近似s0（x）满足其中u0=Sφαδ|s（x）.最后我们给出了数值算例,说明了我们算法的稳定性.2.修正的基本解方法在二维弹性平衡方程反问题中的应用考虑各向同性的弹性体充满有界区域D∈R2,并且边界是分段光滑的,r是边界OD的一部分.在不考虑体力的情况下,位移向量u（x）满足平衡方程,也就是Navier方程,μ>0,λ+2μ>0,μ=G,λ=2G/1-2vν,G和v是切向模量和Poisson比，问题Ⅰ.Cauchy问题：给定r上的Cauchy数据f和t,寻找u满足μΔu+（λ+μ）（?）（?）.u=0,在D内,其中n是边界（?）D的单位外法方向.我们确定定义域内一条曲线上的位移和力.问题Ⅱ.确定边界问题：给定r上的Cauchy数据f和t,寻找u满足其中,f0是在s（x）上给定的函数,n是r的外法向量.考虑给定函数f0,利用Cauchy数据f和t来确定定义域内的曲线s（x）,其中s（x）c D\r,s（x）≠（?）,满足下面的式于其中问题Ⅲ.杂质问题：给定（?）Ω上的Cauchy数据f和t,我们的目标是确定位移u和具有边界（?）D的杂质包含物D,并且D完全包含在（?）Ω内,即D（?）Ω,使得Ω\D是一个环形区域,且μ△u+（λ+μ）（?）（?）.u=0,在Ω\D内,u=f, Tnu=t,在（?）Ω上u-0，在（?）D上其中n是（?）Ω的外法向量.本节考虑的反问题是确定杂质包含物的边界（?）D.主要内容是基于基本解理论提出一种解决二维弹性平衡方程系列问题的数值算法.传统的基本解方法采用下面的形式：其中yi∈R2/D（j=1,…,M）是选取的源点的坐标.一个物理现象的数学描述应该在某种意义下保持一定的不变性.我们的方法主要思想就是应用下面的改进的基本解组合近似方程的解,即用近似Navier方程的解.在上面的式子（6）中加入常数c并不是最重要的,重要的是要求系数aj和bj满足下面的限制可以知道我们构造的解在描述问题时具有某些不变性.我们对于三个问题分别给出了数值算例,例子表明我们的方法是可行的.