同态加密是指对密文进行加乘运算,解密后的结果与对明文进行相应运算后的结果一致。基于矩阵环上的困难问题能够构造出抵抗量子攻击的同态加密方案。已有的矩阵同态加密方案普遍将n × n可逆矩阵用作密钥,存在的问题是密钥长度的形式固定为n2,密钥一旦生成,仅加密n×n矩阵,不够灵活。鉴于此,本文首次将广义逆矩阵与同态加密结合,设计了一个对称全同态加密方案;其次,将广义逆的相关性质应用到由Gentry等人设计的第一个矩阵同态加密方案(GHV10方案)中,重新构造了一个(非对称)部分同态加密方案,具体工作如下:(1)利用一般m×n列满秩矩阵及其广义逆之间的关系,设计了一个对称全同态加密方案,满足IND-CPA(选择明文攻击下的不可区分性)安全,安全性依赖于(未经证明的)公约矩阵假设。与同类相近方案相比,密钥长度的形式可变为mn,使得能加密的明文长度较灵活;其次,矩阵的广义逆不唯一,生成的密钥对也不唯一,在一定程度上提高了密钥的安全性。(2)密码体制设计中,从对称到非对称的关键是寻找一个合适的单向陷门函数,本文将校验矩阵作为陷门,结合行满秩矩阵的广义逆具有的性质,构造了一个新的(非对称)部分同态加密方案,满足IND-CPA安全,安全性依赖于LWE(错误学习)问题。与GHV10方案相比,随机[n,k]线性码可事先生成并储存,之后只需对生成矩阵与校验矩阵做相应的初等变换;又由于在加密阶段,将广义逆作用于明文,故而可对固定行数和任意列数的矩阵加密。(3)以数学软件Magma为平台,对上述两种同态加密方案予以实现,结果表明,方案在理论正确的前提下也能够用实验验证。