【摘 要】
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环论是代数学的重要分支,而环上映射的研究有助于分析环的结构.设R是环,T是R的一个非空子集,Z是R的中心,f是R到R的映射.若对任意a ∈ T,有f（a）a-af（a）=0（f（a）a-af（a）∈ Z）,则称f为T上的可交换（中心化）映射.1957年,Posner最先考虑素环上的可交换映射和中心化映射,证明了非交换素环上的中心化导子一定为零映射.Posner定理被认为是广义恒等式理论的开端.此后
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环论是代数学的重要分支,而环上映射的研究有助于分析环的结构.设R是环,T是R的一个非空子集,Z是R的中心,f是R到R的映射.若对任意a ∈ T,有f（a）a-af（a）=0（f（a）a-af（a）∈ Z）,则称f为T上的可交换（中心化）映射.1957年,Posner最先考虑素环上的可交换映射和中心化映射,证明了非交换素环上的中心化导子一定为零映射.Posner定理被认为是广义恒等式理论的开端.此后围绕着可交换映射和中心化映射的研究,广义恒等式理论得到了蓬勃发展,更多类型的恒等式也开始被研究.1992年,Bre（?）ar刻画了素环上的中心化加性映射,这是可交换和中心化加性映射研究的重要突破.2012年,受线性保持问题的启发,Franca针对加法不封闭的矩阵集作了进一步研究,刻画了Mn（K）的可逆矩阵集和奇异矩阵集上的可交换加性映射,其中Mn（K）是域K上全体n × n矩阵构成的环.2014年,Liu刻画了可逆矩阵集和奇异矩阵集上的中心化映射.此后,素环上很多经典恒等式被拓展到可逆矩阵集,奇异矩阵集,或更一般的秩-s矩阵集.事实上,很多经典恒等式可视为多重加性映射的零迹问题.2018年,Xu和Zhu研究了多重加性映射的零迹问题,证明在一定条件下,可逆矩阵集可以决定多重加性映射迹函数的值域.本文研究了上述结论的秩-s矩阵版本,证明在一定条件下,秩-s矩阵集也可以决定多重加性映射迹函数的值域.同时,由此结论,我们将几个经典恒等式推广到秩-s矩阵集.全文共分为三章.第一章介绍多重加性映射的研究背景和本文的主要结果.第二章证明在一定条件下,秩-s矩阵集也可以决定多重加性映射迹函数的值域,具体内容如下.设m,n,s都是正整数,且满足1＜m≤s＜n.设Mn（D）是除环D上全体n × n矩阵构成的环,M是Mn（D）的加法子群.假设G:Mn（D）m→Mn（D）是m重加性映射,我们用δ1表示G的迹函数,即δ1（x）=G（x,,x）,x∈ Mn（D）.本文证明在一定条件下,如果对任意x∈ Mns（D）,有δ1（x）∈M,则对任意x∈ Mn（K）,有δ1（x）∈M.在上述主要定理的基础上,我们进一步去掉主要定理证明过程中用到的技术条件,从而得到秩-s矩阵决定多重加性映射迹函数值域的几个形式更为简洁的定理.同时本文也给出当s＜m时主要定理不成立的反例.第三章是本文定理的应用.当m ≤ s＜n时,Liu定理,Franca定理,Beidar-Fong-Lee-Wong定理,Lee-Wong-Lin-Wang定理分别被推广到秩-s矩阵集.
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