近年来,人工带隙材料(如声子晶体和光子晶体等),由于其具有可设计、可调谐以及对波的超常调控等优异性能,成为新一代智能材料的研究焦点。在基础研究领域,作为模拟凝聚态物理现象的经典波平台,其能带基本性质,包括平带,Dirac型线性色散以及更本质的拓扑性质等等,受到科学家的广泛关注。这些能带的奇异特性引起了很多有趣的物理现象,诸如负折射、拍频现象、拓扑边界态等等。这使得人工带隙材料可以作为新型声/光分路器,隔离器、延迟线、滤波器、空间调制器等器件的优良候选体系,有望在声/光信号激发、传播、接收、处理方面发挥巨大作用,从而成为未来声光量子通讯,量子计算的重要潜在材料。另一方面,由于Dirac方程是近代非常重要的相对论量子力学基本方程,所以,在人工带隙材料平台研究Dirac方程,这对于波的调控具有深远的物理意义。其线性色散的基本性质不仅可以直接导致诸如弹道散射,赝扩散传播,Klein隧穿,Dirac震荡,Zitterbewegung震颤等奇异物理现象,更是凝聚态拓扑现象的物理根源。广义地讲,每一类拓扑现象的背后都可以看到Dirac方程的影响。本论文旨在研究以Dirac方程为基本原理的一类人工带隙材料,重点探索在人工带隙材料中Dirac方程的物理意义,以及由于Dirac简并破缺所导致的非平庸拓扑现象。进一步地,我们利用声学石墨烯结构研究Dirac点附近的Dirac震颤,并利用旋磁旋电光学结构研究光学量子自旋霍尔效应。具体内容包括:1.我们系统地研究了 Dirac方程与几何相位的关系,探索了声/光子晶体的拓扑根源;分别从声表面波体系,介质光子晶体体系导出Dirac方程;采用添加Faraday旋磁旋电项,等效磁场项等方式,破缺Dirac简并。2.我们提出了一种新型的准二维人工声学材料,并在实验中观测到了 Dirac点附近特有的奇异性质。我们利用LiNbO3为基底,Ni金属柱作为集成平台,构造出类似石墨烯结构的六角晶格声子晶体,并在能带高对称点附近发现了满足Dirac方程的线性简并。在简并点附近,我们理论分析并实验验证了如下奇异特性(1)Dirac震颤(Zitterbewegung)现象;(2)类扩散(pseudo-diffusion)现象。3.我们探究量子自旋霍尔效应的拓扑根源,研究时间反演对称性在拓扑光学中的作用,并提出了一种“赝时间反演对称性”。利用旋磁旋电和磁电耦合材料作为光子晶体平台,利用圆偏振左右旋光(LCP/RCP)以及线偏振(TE/TM)两种赝自旋构造方式,分别实现了光的类量子自旋霍尔效应。我们模拟观察到了具有背散射抑制现象的“robust”边界态,并计算了其拓扑不变量——量子自旋陈数以及Z2拓扑不变量。最后,我们系统地阐释了,赝时间反演对称性是构成玻色系统拓扑绝缘体的对称性保护机制的关键。综上所述,本文从理论上系统地阐释了 Dirac方程对人工带隙材料能带性质,特别是拓扑性质的影响。并具体到声表面波系统,光子晶体系统,从理论,实验,物理现象等方面进行了研究。本文内容是对人工带隙材料拓扑性质的总结,并且对将来拓扑物理的应用具有参考价值。