【摘 要】
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系统发生学是一门研究生物进化规律以及物种间亲缘关系的学科,对偶兼容图的概念是在系统发生学的背景下引入的,目的是模拟一组生物之间的进化关系,进化关系通常用进化树表示,所以对于对偶兼容图的研究要从重建进化树开始.本文要研究的k-关系图是对偶兼容图的一种特殊情况.给定一个图G,如果存在一个边标号的进化树T,使得树T的叶子集等于图G的顶点集,并且树T的任何叶子x和叶子y之间的唯一路径上的边标号之和为k当且
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系统发生学是一门研究生物进化规律以及物种间亲缘关系的学科,对偶兼容图的概念是在系统发生学的背景下引入的,目的是模拟一组生物之间的进化关系,进化关系通常用进化树表示,所以对于对偶兼容图的研究要从重建进化树开始.本文要研究的k-关系图是对偶兼容图的一种特殊情况.给定一个图G,如果存在一个边标号的进化树T,使得树T的叶子集等于图G的顶点集,并且树T的任何叶子x和叶子y之间的唯一路径上的边标号之和为k当且仅当xy为图G的边,那么我们称图G是一个k-关系图.本文首先讨论了k=3时的情况,即研究什么样的图是3-关系图.我们证明了图G是二部图为图G是3-关系图的必要条件,即只要图G包含奇圈,则图G不是3-关系图.更进一步,我们完全刻画了圈图是3-关系图的充要条件,即圈图G是3-关系图当且仅当G为偶圈,并且给出了偶圈对应3-关系的边标号树.之后我们讨论了比较小的图为3-关系图的条件,即证明了阶至多为7的图G是3-关系图的充分必要条件为G是二部图.本文最后将3-关系图的结果推广到（2k+1）-关系图.我们证明了 3-关系图是（2k+1）-关系图,并且得到了（2k+1）-关系图的一个必要条件,即图G是（2k+1）-关系图,则图G不含奇圈.由此,我们证明了圈图G是（2k+1）-关系图当且仅当G为偶圈,阶至多为7的图G是（2k+1）-关系图的充分必要条件为图G是二部图.
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