主亏格定理是高斯关于亏格的工作中最著名的定理之一,是亏格理论的中心定理。该定理起源于欧拉和哥德巴赫通信中的一个猜想,后由高斯在1801年出版的《算术研究》中首次提出并证明。之后,经戴德金、库默尔、希尔伯特、诺特以及哈塞等数学家进行了推广。主亏格定理是推导互反律的代数学基础,同时也是类域论的构建过程中的重要基石。本文基于大量原始文献和研究文献,运用文献研究法、编年史法、社会学方法和概念分析法等研究方法,以主亏格定理的早期历史发展为线索,探究了主亏格定理的起源,梳理了该定理的发展和推广过程,分析了相关数学家们的思想来源和主要工作。同时,本文对主亏格定理的应用进行了简要介绍。所取得的主要结果和结论为:1.探究了主亏格定理的起源。采用二元二次型表示整数的研究最早源于费马。1753年,哥德巴赫和欧拉的通信中提到的一个关于这一内容的猜想体现了亏格理论的思想萌芽。此外,欧拉还提出了合适数的概念,高斯后来给出了与合适数相关的两个性质。之后,拉格朗日引入了二元二次型理论中等价和约化的概念,为高斯的亏格理论的提出奠定了基础。高斯还在《算术研究》中利用勒让德的三元二次型理论证明了主亏格定理。2.分析了高斯提出主亏格定理的过程。高斯在《算术研究》的第六章先后讨论了特征、亏格、型的合成以及歧义类的数量问题,得出了亏格理论的第一、二个不等式,进而推出了二元二次型上的主亏格定理,并对其进行了证明。3.论述了戴德金、库默尔和希尔伯特对主亏格定理的发展所作的工作。1839年,狄利克雷在“无穷小分析在数论中的各种应用研究”中给出了亏格理论第二个不等式的分析证明。在狄利克雷的影响下,戴德金在《数论讲义》的附录中进一步发展了高斯关于二元二次型的主亏格定理,然后他提出了一个该定理的等价定理,并利用勒让德定理证明了主亏格定理。库默尔研究了库默尔扩张上的主亏格定理,给出了该扩张上的一般主亏格定理。希尔伯特通过定义范剩余符号以及理想类的划分,从而给出了二次域上的主亏格定理。此外,他还在《数论报告》的第五部分中结合库默尔的结果,给出了正则库默尔域上的主亏格定理。4.分析了赫克、诺特和哈塞等人简化和推广主亏格定理的工作。赫克定义了严格等价,给出了一个新的亏格概念,从而简化了主亏格定理。诺特利用叉积,给出了最小主亏格定理和因子系统诱导的理想类划分,并在此基础上将主亏格定理推广到了相对伽罗瓦数域上。哈塞将主亏格定理推广到素数阶相对循环域上,得出了该域上的一般主亏格定理。5.介绍了主亏格定理的应用。主亏格定理对推导经典互反律起到了基础性作用,并为高木贞治等人构建类域论奠定了基础。