【摘 要】
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近几年来,临界非局部的Choquard方程在量子力学,非线性光学和Bose-Einstein凝聚等不同领域都有着非常广泛的应用.因此,研究临界指数的Choquard方程（组）解的存在性与多解性及其相关性质成为非线性分析领域的热点问题,很多数学家在这个领域进行了深入研究并且得到丰硕的结果.本文旨在利用变分法和椭圆方程的理论研究带有Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数的Choqua
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近几年来,临界非局部的Choquard方程在量子力学,非线性光学和Bose-Einstein凝聚等不同领域都有着非常广泛的应用.因此,研究临界指数的Choquard方程（组）解的存在性与多解性及其相关性质成为非线性分析领域的热点问题,很多数学家在这个领域进行了深入研究并且得到丰硕的结果.本文旨在利用变分法和椭圆方程的理论研究带有Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数的Choquard方程（组）的解,包括小能量解的存在性和非存在性,无穷多解、变号解的存在性问题以及参数趋于负无穷时基态解的极限产生的相位分离现象.全文共分四章在第一章,我们概述了问题的背景及研究现状并简要地介绍了本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章,我们考虑下面带有临界指数的Kirchhoff-Choquard方程（?）其中λ是一个参数,在Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的意义下2μ*=2N-μ/N-2（0＜μ＜min{4,N}）表示上临界指数.当λ,μ在适当的假设条件下,通过约束极小法和集中紧性原理,我们证明了这个方程的多解性,其中一个是正的基态解.进一步,利用K.C.Chang给出的一个抽象结果,获得了无穷多对不同的解.此外,当λ＜0,结合Pohozaev恒等式,我们证明了解的不存在性.第三章我们研究下面带有临界指数的Kirchhoff-Choquard方程组（?）其中Ω是RN（N≥3）中的有界域,1＜q＜2,2μ*=2N-μ/N-2当（λ,σ）属于某个子集R2,我们在适当的Nehari流形上使用约束极小法和Ekeland变分原理证明了解的存在性,结合Pohozaev等式证明了解的不存在性以及分析了非负向量解的极限行为,特别地,当q=2时,非负解的存在性也被研究.第四章我们研究了如下带有双临界指数的Choquard方程组（?）其中0＜λ1,λ2＜λ1（Ω）且λ1（Ω）是-Δ在Dirichlet边界条件下的第一特征值.对于固定的β＜0（排斥情形）,通过在Nehari流形上使用约束极小法,我们证明了方程组有一个小能量的变号解（一个分量是变号的且有两个节点域,另一个分量是正的）以及分析了解的渐近行为,同时,研究了相位分离性.
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