流体运动是现实物理世界中最普遍的运动形态和方式。流体的运动规律也是人们最为关注的问题之一。利用数学手段研究与探求流体运动现象的规律，构成了现代数学与流体力学的最丰富的内容。虽然Euler方程和Navier-Stokes方程是流体理论中最经典的流体数理模型，但现代流体方程中受到最广泛关注的却是Korteweg-de Vries方程，之所以引起大家的兴趣，是因为KdV方程首次给出了Scott Russell早在1834年观察到的孤立波现象的合理的数理解释。随后在许多的波动方程中都发现了孤立波的存在。在1993年由R.Camassa和D.D.Holm发表的另一类浅水波方程Camassa-Holm方程，不仅是完全可积的，还具有双Hamilton结构，此外，在CH方程中发现了一类新的孤立子——Peakon孤立子。与KdV方程相比，CH方程还有一个非常重要的性质，即其解会发生爆破(Blow-up)，这很好地解释了实际浅水波运动中的碎波现象。当然，无论是KdV方程还是CH方程，都是对理想流体而言的，在实际的物理流体中，理想流体是不存在的，因此需要考虑流体运动中的实际的能量耗散作用。事实上，S.Chen与C.Foias等人利用粘性Camassa-Holm方程研究管道湍流，获得了相当好的结果。正是在这种背景下，本文来研究具耗散的浅水波方程——耗散Camassa-Holm方程。本论文研究基本方法就是理论分析与数值计算相结合。在理论研究中，主要依赖一些先验估计以及Kato理论和紧致性方法，而数值研究中则主要是非线性伽辽金方法。论文共共分为六章，第一章绪论中，对流体力学的发展历史作了回顾，并就流体的基本性质与基本方程给与了简述，并就经典的浅水波方程KdV方程进行了叙述;第二章则回顾了新型浅水波方程Camassa-Holm的基本内容和性质，并给出了CH方程的与R.Camassa和D.D.Holm推导不同的数学推导。第三章研究了与Langrange平均流相对应的耗散方程——强耗散CH方程。首先就Cauchy问题得到了结论:在初值属于H1的条件下，其Cauchy问题是适定的。关于整体解半群，在H2中具有整体吸引子，并给出了该吸引子维数上界的估计。此外在周期边界条件下还给出了惯性流形的存在性。第四章则讨论了相应与二阶流的耗散浅水波方程——弱耗散CH方程。分别研究了两种耗散形式下CH方程的解及其动力学行为。研究表明，在弱耗散作用下，局部适定性是无疑的。令人惊奇的是弱耗散CH的全空间上的某些解与CH方程的解一样会出现爆破(Blow-up).对uxx形式的耗散，在周期边界条件下，在适当条件下，方程的整体解存在且唯一。而对Helmholtz算子给出的弱耗散uxx-u的方程，利用Kato理论及先验估计，得到整体弱解的存在唯一以及渐进轨道稳定性。该耗散下的方程与CH方程一样也有特殊的尖峰孤立波解。利用弱耗散方法我们还可以获得Camassa-Holm方程的整体弱解的存在性与唯一性。第五章考察耗散广义Camassa-Holm方程。对耗散广义CH方程我们同样得到了周期条件下的适定性，整体吸引子的存在性。第六章则从逼近的角度来研究耗散方程的动力学行为。简要叙述了求微分方程近似解的基本方法——里兹法和伽辽金法，回顾了M.Marion和R.Temam提出的非线性伽辽金方法。用非线性伽辽金方法具体研究了耗散及弱耗散Camassa-Holm的近似解，并给出了数值结果。数值计算的结果与理论分析的结论是一致的。　　本文研究表明，对于新型浅水波方程，即Canassa-Holm方程，耗散程度的强弱明显对水波的爆破产生重要影响。而孤立波形式还与耗散形式相关。