曲线曲面造型是CAD系统建模的一个重要环节.优良的建模功能在于它的高效性与高精度，这不仅能够大大节省用户的时间，而且可以精准地获取产品的理想外形.随着CAD系统的快速发展，与草图模块有关的用户常用功能中，诸如特殊曲线的快速成型、曲线插值、边界约束等功能中，都不断产生一些前沿性研究课题;与Nurbs模块有关的直纹面等特殊曲面的快速生成、边界曲线给定条件下的光滑曲面生成、以及分割、缝合等曲面操作中，也时常出现一些用户深感困惑的热门难题.基于以上所列举的曲线曲面造型的前沿课题，本文作了深入研究，在以下五个方面获得了创新性的理论成果:　　1.可弦长参数化的复有理曲线的构造及其参数化.鉴于Bézier曲线的弦长参数化在参数曲线的点逆向工程中有着重要的应用，利用复有理Bézier曲线这个工具，推导了2次和3次复有理Bézier曲线可弦长参数化的一些充分条件，进一步地，给出了选择控制顶点和权因子来构造可弦长参数化曲线的算法.所构造的可弦长参数化的复有理Bézier曲线中，一类2次的曲线通过其所有控制顶点，一类3次的曲线除了插值给定的端点及其切向之外，还提供2个自由度来调节曲线的形状.数值例子表明，本文所推导的对复有理施以弦长参数化的方法是十分有效的.其次，为了更加方便清晰地应用复形式的有理de Casteljau算法和细分算法，通过研究一次复有理Bézier曲线的最优参数化问题，提出2种最优参数化方法——代数方法和几何方法.代数方法借助直接的代数运算推导曲线在M(o)bius变换下的重新参数化，使得这种参数化在L2范数下最接近于弧长参数化;而几何方法从一次复有理Bézier曲线的内在几何性质出发，直接求得曲线在M(o)bius变换下的最优参数化，进而揭示曲线最优参数化的本质.另外，从应用角度给出了用一次复有理Bézier曲线插值3个给定点的公式.实验结果表明，在最优参数化后，曲线上的等参数点分布更加均匀，因而拥有更强的实用性.　　2.3次LN曲线与PH曲线的构造.为了更有效地利用具有线性法向量的3次Bézier曲线（称为LN Bézier曲线）来求解等距曲线，本文给出了用3次LN曲线逼近一般的n次Bézier曲线的3种方法.其中，基于控制顶点偏移的逼近方法等价于求解一个1元2次方程，而基于L2范数的逼近方法等价于求解一个1元4次方程.其次，本文给出了基于Hausdorff距离的曲线最佳逼近的充分必要条件，进而得到了对n次Bézier曲线作此类逼近的算法.实例表明，基于Hausdorff距离的逼近，不仅其误差远小于基于控制顶点偏移的和基于L2范数的逼近误差，而且算法十分简单方便.另外，鉴于PH曲线可精确表示等距曲线从及曲率计算与控制对曲线设计的极端重要性，本文给出了最小化边界约束的3次PH曲线的最大曲率的求解过程及答案.由于带边界约束的3次PH曲线有2个自由度，最小化该曲线的最大曲率等价于求解一个带边界条件的二元函数的最小值.　　3.基于函数值带权的双变量的有理三次样条插值方法.这种样条插值方法有以下几个好处，第一，能够在不改变插值点的值的情况下通过改变参数来调节插值曲面的形状;第二，当参数取任何正值时，插值函数都是C1连续的;第三，插值函数有简单的显式表达;第四，插值函数只依赖于函数值而不用求函数的偏导，计算十分简洁.本文还讨论了这种样条插值函数的样条插值基、矩阵表示、界估计、误差分析等优良性质.　　4.以测地线或曲率线作为给定边界线的曲面造型新方法.给出了基于4阶偏微分方程的曲面构造方法.与基于求解控制顶点的方法相比，它具有以下优点:第一，在退化情形下，可以自然地导出相应的双调和曲面造型;第二，偏微分方程中的参数蕴含着弹性与刚性等物理意义;第三，需要求解的参数少，因而计算简单、高效.另外，本文还给出了以给定曲线为公共边界的两张C1连续拼接曲面的例子.　　5.基于L2距离的计算来构造逼近曲面.鉴于曲线曲面之间的距离计算是有理曲线曲面的降阶逼近和多项式逼近等几何逼近以及几何设计的重要前题，本文首先给出了基于升阶矩阵的两张有理Bézier曲面的L2距离表示，然后利用这个L2距离表示和最小二乘法，对有理Bézier曲面多项式逼近的误差作了明确而统一的度量.最后，基于Bernstein基与B样条基的相互转换，把有理Bézier曲线曲面的L2距离表示简捷地推广到了有理B样条曲线曲面.所得到的几个计算曲线曲面之间的距离的公式均可通过矩阵运算表示，十分利于程序的实现，有应用价值.